classes de fonctions et dérivées successives
dans Analyse
Bonjour
j'ai une démonstration par récurrence à faire mais j'ai l'impression d'être bancal.
J'ai cette proposition
Si $f$ est $C^0$ sur $I$.
$f$ est $C^1$ sur $I\setminus\{a\}$.
$\lim_{x \to a} f'(x) =\ell_1$.
Alors $f$ est $C^1$ sur $I$ et $f'(a)=\ell_1$.
Je dois montrer :
si f est $C^0$ sur I
f est $C^n$ sur $I\setminus\{a\}$
pour tout entier p = {1,....,n) $\lim_{x \to a} f^{(p)}(x) =l_p$
alors f est $C^n$ sur I et $f^{(p)}(a)=l_p$
J'ai fait ça
hypothèses
k entier, $0 \le k \le n-1$
$f^{(k)}$ est $C^0$ sur I
$f^{(k)}$ est $C^k$ sur $I\setminus\{a\}$,
$\lim_{x \to a} f^{(k+1)}(x) =l_{k+1}$
d'après la proposition 1,
alors $f^{(k)}$ est $C^{(k+1)}$ sur I et $f^{(k+1)}(a)=l_{k+1}$
proposition valable pour k=0, par récurrence je conclus
Ça fait plusieurs fois que je reviens dessus et il y a quelque chose qui me gêne mais je ne sais pas quoi ...
Merci.
Pascal.
j'ai une démonstration par récurrence à faire mais j'ai l'impression d'être bancal.
J'ai cette proposition
Si $f$ est $C^0$ sur $I$.
$f$ est $C^1$ sur $I\setminus\{a\}$.
$\lim_{x \to a} f'(x) =\ell_1$.
Alors $f$ est $C^1$ sur $I$ et $f'(a)=\ell_1$.
Je dois montrer :
si f est $C^0$ sur I
f est $C^n$ sur $I\setminus\{a\}$
pour tout entier p = {1,....,n) $\lim_{x \to a} f^{(p)}(x) =l_p$
alors f est $C^n$ sur I et $f^{(p)}(a)=l_p$
J'ai fait ça
hypothèses
k entier, $0 \le k \le n-1$
$f^{(k)}$ est $C^0$ sur I
$f^{(k)}$ est $C^k$ sur $I\setminus\{a\}$,
$\lim_{x \to a} f^{(k+1)}(x) =l_{k+1}$
d'après la proposition 1,
alors $f^{(k)}$ est $C^{(k+1)}$ sur I et $f^{(k+1)}(a)=l_{k+1}$
proposition valable pour k=0, par récurrence je conclus
Ça fait plusieurs fois que je reviens dessus et il y a quelque chose qui me gêne mais je ne sais pas quoi ...
Merci.
Pascal.
Réponses
-
$f^{(k)}$ n'est pas de classe $\mathcal C^k$ sur $I \setminus \{a\}$ (en tout cas ce n'est pas vrai pour tous les $k$).
-
Bonsoir
Je vais avoir besoin d'une aide plus précise car là je ne te suis pas ...
juste que je vois une erreur.
J'aurais dû écrire $f^{(k)}$ est $C^{k+1}$ sur $I\setminus\{a\}$,
C'est ça le problème ? Effectivement si c'est ça, ça change tout. Sinon je ne vois pas.
Merci.
Pascal. -
Où vois-tu que $f^{(k)}$ est $C^k$ sur $I\setminus\{a\}$ pour $k \in \{0,\ldots,n-1\}$ dans tes hypothèses ?
-
j'ai corrigé nos messages se sont croisés?
-
Tu as écrit quelque chose d'encore moins vrai. Je ne vois pas dans tes hypothèses où a-t-on $f^{(k)}$ est $C^{k+1}$ sur $I\setminus\{a\}$ pour $k \in \{0,\dots,n-1\}$
-
désolé, je ne te suis pas, c'est l'hypothèse que j'ai modifiée
je reprends le msg d'origine, correction en rouge
Bonjour
j'ai une démonstration par récurrence à faire mais j'ai l'impression d'être bancale :
j'ai cette proposition
si f est $C^0$ sur I
f est $C^1$ sur I\{a}
$\lim_{x \to a} f'(x) =l_1$
alors f est $C^1$ sur I et $f'(a)=l_1$
je dois montrer
si f est $C^0$ sur I
f est $C^n$ sur I\{a}
pour tout entier p = {1,....,n) $\lim_{x \to a} f^{(p)}(x) =l_p$
alors f est $C^n$ sur I et $f^{(p)}(a)=l_p$
j'ai fait ça
hypothèses
k entier, $0 \le k \le n-1$
$f^{(k)}$ est $C^0$ sur I
$f^{(k)}$ est $C^{k+1}$ sur I\{a}
$\lim_{x \to a} f^{(k+1)}(x) =l_{k+1}$
d'après la proposition 1,
alors $f^{(k)}$ est $C^{(k+1)}$ sur I et $f^{(k+1)}(a)=l_{k+1}$
proposition valable pour k=0, par récurrence je conclus
Ca fait plusieurs fois que je reviens dessus et il y a quelque chose qui me gêne mais je ne sais pas quoi.......
Merci
Pascal -
Mais enfin non ! On n'a pas que $f^{(k)}$ est de classe $\mathcal C^k$ mais seulement $\mathcal C^1$ ! Si $f^{(k)}$ est de classe $\mathcal C^k$ alors $f$ est de classe $\mathcal C^{2k}$ par définition, ce qui est faux dès que $k \geq n/2$.
-
Voulait-il écrire que par hypothèse $f^{(k)}$ est $C^1$ sur $I-\{a\}$ pour tout $k \in \{0,1,..,n-1\}$....?
-
EUKEKA
j'ai compris désolé si c'est long à la détente !
k entier, $0 \le k \le n-1$
$f^{(k)}$ est $C^0$ sur I
$f^{(k)}$ est $C^{1}$ sur I\{a}
$\lim_{x \to a} f^{(k+1)}(x) =l_{k+1}$
d'après la proposition 1,
alors $f^{(k)}$ est $C^{(1)}$ sur I et $f^{(k+1)}(a)=l_{k+1}$
dans ce cas est ce que mon raisonnement est bon.
En tout cas merci
Pascal -
Si on essaye de déchiffrer ton raisonnement il me semble que l'idée est là, mais ta rédaction est très mauvaise, on ne comprend pas ce que tu fais. Rédige proprement ta récurrence et ça devrait être plus clair !
-
c'est là que ça coince
k entier, $0 \le k \le n-1$
$f^{(k)}$ est $C^0$ sur I
$f^{(k)}$ est $C^{1}$ sur I\{a}
$\lim_{x \to a} f^{(k+1)}(x) =l_{k+1}$
d'après la proposition 1,
alors $f^{(k)}$ est $C^{(1)}$ sur I et $f^{(k+1)}(a)=l_{k+1}$
il faudrait que cette première conclusion me permette de rebondir pour n+2 car quand je lis mon raisonnement il n'a aucune raison d'être récurrent, pour l'instant il s'arrête à k+1
$f^{(k)}$ est $C^{(1)}$ sur I et $f^{(k+1)}(a)=l_{k+1}$
ainsi $f^{(k+1)}$ est $C^0$ sur I
mais comment j'obtiens $f^{(k+1)}$ est $C^{1}$ sur I\{a}
$\lim_{x \to a} f^{(k+2)}(x) =l_{k+2}$
...ça m'agace j'ai fini presque mon troisième devoir et je patauge sur cette question qui ne doit pourtant pas être bien difficile. -
Je ne vois toujours de récurrence rédigée.
-
Si $f$ est $C^0$ sur $I$.
$f$ est $C^1$ sur $I\setminus\{a\}$.
$\lim_{x \to a} f'(x) =\ell_1$.
Alors $f$ est $C^1$ sur $I$ et $f'(a)=\ell_1$.
Cette propriété est vraie au rang 0
Supposons qu'elle est vraie au rang k
k entier, $0 \le k \le n-1$
$f^{(k)}$ est $C^0$ sur I
$f^{(k)}$ est $C^{1}$ sur I\{a}
$\lim_{x \to a} f^{(k+1)}(x) =l_{k+1}$
d'après la proposition 1,
alors $f^{(k)}$ est $C^{(1)}$ sur I et $f^{(k+1)}(a)=l_{k+1}$
si $f^{(k)}$ est $C^{(1)}$ sur I, alors $f^{(k+1)}$ est $C^{(0)}$ sur I
c'est là qu'il me faudrait pouvoir énoncer
$f^{(k+1)}$ est $C^{1}$ sur I\{a}
$\lim_{x \to a} f^{(k+2)}(x) =l_{k+2}$
dés lors je pourrais dire si c'est valable pour k,c'est valable pour k+1 comme c'est vérifié pour k=0,c'est vérifié pour tout k -
Peux-tu écrire quelle est ton hypothèse de récurrence ? On ne comprend rien à ce que tu fais.
-
une conclusion s'impose, je suis largué.....
-
Ça fait trois messages que je te demande d'écrire proprement ta récurrence, ce que tu ne fais pas. Donc avant de t'attaquer à l'analyse tu devrais revoir le principe d'un raisonnement par récurrence.
-
oui je sais mais je crois que je saturais, je ne savais même plus où j'allais
j'ai donc repris calmement
proposition 1
Si $f$ est $C^0$ sur $I$.
$f$ est $C^1$ sur $I\setminus\{a\}$.
$\lim_{x \to a} f'(x) =\ell_1$.
Alors $f$ est $C^1$ sur $I$ et $f'(a)=\ell_1$.
hypothèse
soit f une fonction telle que
$f$ est $C^0$ sur $I$.
$f$ est $C^n$ sur $I\setminus\{a\}$.
$\lim_{x \to a} f^k(x) =\ell_k$ pour tout $k \in N , 0 \le k \le n$
Alors $f$ est $C^n$ sur $I$ et $ f^k(a)=\ell_k$.
Supposons qu'elle est vraie au rang k
soit f une fonction telle que
$\lim_{x \to a} f^k(x) =\ell_k$ pour tout $k \in N , 0 \le k \le n-1$
$f$ est $C^{(k)}$ sur $I$.
$f$ est $C^{(k+1)}$ sur $I\setminus\{a\}$.
alors on peut dire que
$f^{(k)}$ est $C^{(0)}$ sur $I$.
$f^{(k)}$ est $C^{(1)}$ sur $I\setminus\{a\}$.
d'après la proposition 1,
$f^{(k)}$ est $C^{(1)}$ sur I et donc $f$ est $C^{(k+1)}$ sur $I$
et $f^{(k+1)}(a)=\ell_{k+1}$
Cette propriété est valable pour k=0, (proposition 1) elle est donc valable pour tout $k \in N , 0 \le k \le n$
Ca me semble nettement mieux...enfin j'espère -
C'est mieux mais tu ne sais clairement pas rédiger une récurrence.
Tu veux montrer la chose suivante : si $f$ est continue sur $I$, $\mathcal C^n$ sur $I \setminus \{a\}$ (en particulier $\mathcal C^k$ sur $I \setminus \{a\}$ pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$) et $f^{(k)}$ admet une limite (finie) $l_k$ en $a$ pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ alors $f$ est $\mathcal C^n$ sur $I$ et $f^{(n)}=l_n$.
On fixe donc une telle fonction $f$.
Tu vas donc montrer par récurrence l'énoncé suivant : $\forall k \in \{0, \dots, n\}$, $f$ est $\mathcal C^k$ sur $I$ et $f^{(k)}(a)=l_k$. (*)
Initialisation : $f$ est bien de classe $\mathcal C^0$ sur $I$ et admet $l_0$ pour limite en $a$.
Hérédité : supposons (*) vraie pour un certain entier $k \in \{0, \dots, n-1\}$. Alors $f^{(k)}$ est continue sur $I$. De plus, d'après les hypothèses sur $f$, on a que $f^{(k)}$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $I \setminus \{a\}$ et admet une limite $l_{k+1}$ en $a$. D'après la proposition 1, on a donc que $f^{(k)}$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $I$, c'est-à-dire que $f$ est de classe $\mathcal C^{(k+1)}$ sur $I$, et que $(f^{(k)})'(a)=f^{(k+1)}(a)=l_{k+1}$.
On a donc montré par récurrence que pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$, $f$ est $\mathcal C^k$ sur $I$ et $f^{(k)}=l_k$. En particulier, pour $k=n$, c'est le résultat que tu voulais montrer. -
Bnojour
un grand merci pour ton aide
C'est vrai que la récurrence c'est des souvenirs de term C il y a 30 ans. Quand j'ai repris la term s je ne l'ai pas revue...
Et rien dans le cours actuel alors ton aide....va me servir de cours.
Merci
Pascal
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