Dérivation dl

johndoex3x
johndoex3x
dans Analyse
Bonjour,
dans mon cours j'ai noté qu'on ne pouvait dériver un dl et je trouve ça sur le net.

Proposition 9.5.7 (dérivation d’un développement limité)
Soit f une fonction de classe $C^\infty$ au voisinage de 0.
Alors le développement limité de f' en 0 à l’ordre n s’obtient en dérivant terme à terme le développement limité de f en 0 à l’ordre n + 1 (ces deux DL résultent de la formule de Taylor-Young).

Est-ce à cause du voisinage de 0 ?
Merci de votre aide.
Pascal.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Ton cours a faux, et ça marche même à un voisinage différent de 0.
  • Amathoué
    Amathoué
    Si $f$ est $C^{\infty}$ sur un voisinage de $0$ , $f'$ l'est aussi et admet en particulier un DL en $0$ à n'importe quel ordre et la partie régulière de la seconde à l'ordre $n$ est bien la dérivée de la partie régulière de la première à l'ordre $n+1$.
  • Chalk
    Chalk
    Pourquoi au voisinage de 0 ?

    Bon on se ramène facilement à ce cas là de toute façon.
  • Amathoué
    Amathoué
    Ce que je voulais dire @skyffer c'est que tu as mal lu la question posée :-D(regarde bien)
  • Chalk
    Chalk
    J'ai beau lire j'ai pas compris :-D

    Pour moi il demande si ça a un rapport avec le voisinage de 0, alors que ça marche partout.
  • Amathoué
    Amathoué
    Ah ok , ta réponse m'a induit en erreur ("ton cours a faux"). Mais la question sur le rapport au voisinage de 0 n'est pas dans son cours il me semble c'est lui qui fait un lien là où il n'y en a pas.
  • Chalk
    Chalk
    johndoe a écrit:
    dans mon cours j'ai noté qu'on ne pouvait dériver un dl
    Je répondais à ça en fait ;-)
  • remark
    remark
    .
  • Amathoué
    Amathoué
    @skyffer

    Ah ok X:-(.
    Mais sinon si on ajoute "en général" l'affirmation est juste(après @johndoex3x ne dit peut-être pas tout...)
  • Chalk
    Chalk
    J'ai été trop affirmatif, j'aurais dû dire qu'on peut dériver le DL avec les bonnes hypothèses, ce qui n'invalide pas ce que dit son cours ...

    Merci remarK !
  • johndoex3x
    johndoex3x
    ok merci c'est plus clair ainsi

    de demande cela car dans un exercice il y a un point que je ne comprends pas.

    j'ai une fonction g qui est $C^ \infty$ avec g(a)=0

    ils posent P(x) la partie régulière du dl de g de degré n+1 de g en a


    ils posent f=g-P

    et je lis ensuite : $f(a)=f'(a)=.......=f^{(n+1)}(a)=0$
    d'où vient ce résultat? car pour moi $g=_{n \to + a} P(x) + o(x-a)^n$ et non $g(x)=_{n \to + a}P(x)$
  • Poirot
    Poirot
    Par définition de $P$, la fonction régulière $g-P$ admet le développement limité suivant au voisinage de $a$ : $$g(x)-P(x)=o(x-a)^{n+1}.$$ Par unicité du développement limité, ça veut dire que toutes ses dérivées en $a$ jusqu'à l'ordre $n+1$ (inclus) sont nulles.
  • johndoex3x
    johndoex3x
    ah voilà qui est très clair !!
    Merci
    Pascal
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