Équation différentielle partielle et ouverts

pluton
pluton
dans Analyse
Bonjour

J'ai une rapide question concernant les domaines sur lesquels les Équations aux dérivées partielles sont définies. Si on considère l'équation de Laplace définie sur l'ouvert $\Omega$: $$ \Delta u=0$$ L'idée est de trouver une solution $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$. Bon, d'accord. J'imagine que $C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ est un peu plus grand que $C^2(\overline{\Omega})$. Cependant, pour les équations de Laplace que l'on peut résoudre à la main, ce dernier semble suffire. Auriez-vous des contre-exemples ?

Merci

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Je ne comprends pas ce que tu veux exactement
    Le 😄 Farceur


  • pluton
    pluton
    Y a-t-il beaucoup de solutions qui sont dans $C^2(\Omega)\cup C(\overline{\Omega})$ sans être dans $C^2(\overline{\Omega})$?
  • gebrane
    gebrane
    Je peux savoir ta definition de $
    \mathcal C^2(\bar \Omega) $
    Le 😄 Farceur


  • pluton
    pluton
    ben je dirais les fonctions $C^2(\Omega)$ et $C^2$ vers l'intérieur du domaine sur la frontière ? Par exemple, en une dimension, la fonction valeur "absolue" est $C^2[0,1]$ et $C^2]0,1[$.
  • gebrane
    gebrane
    Je te donne la defintion exacte
    $\begin{equation*}
    \mathcal C^2(\bar \Omega) = \Big\{ \varphi: \Omega \longrightarrow \mathbb R/ \exists \mathcal O \, \text{ouvert contenant}\, \bar \Omega, \exists \psi \in \mathcal C^2(\mathcal O), \psi_{|\Omega} = \varphi \Big\}
    \end{equation*}$
    Le 😄 Farceur


  • pluton
    pluton
    d'accord. Et ça permet de répondre à la question ?
  • gebrane
    gebrane
    Crois-tu qu'une fonction harmonique dans $C^2(\Omega)\cup C(\overline{\Omega})$ est nécessairement dans $\mathcal C^2(\bar \Omega)$ ?
    Bonne nuit
    Le 😄 Farceur


  • pluton
    pluton
    non, sans doute, mais je ne trouve pas d'exemple...
  • gebrane
    gebrane
    Pour trouver des milliers de contre-exemples, utilise La formule intégrale avec le noyau de Poisson
    Le 😄 Farceur


  • pluton
    pluton
    d'accord, merci!
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 2

etanche +1 Invité