Prolongement d'une fonction test par 0
dans Analyse
Bonjour,
dans le cours sur les fonctions testes, il y a une propriété qui dit qu'il est possible de prolonger une fonction test par zéro. Je cherche un exemple où on voit l'utilité de cette propriété.
Merci par avance pour votre aide.
dans le cours sur les fonctions testes, il y a une propriété qui dit qu'il est possible de prolonger une fonction test par zéro. Je cherche un exemple où on voit l'utilité de cette propriété.
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Réponses
Je t'explique, pour tout ouvert $\Omega \subset \R^n$, je note $\mathcal{Db}(\Omega)$ l'ensemble des distributions sur $\Omega$. La question se pose alors de savoir si on peut restreindre une distribution. Autrement dit, si $U \subset V$ sont deux ouverts, a-t-on une application "naturelle de restriction" $r_{U,V} : \mathcal{Db}(V) \to \mathcal{Db}(U) ?$ Autrement dit, je prends $T$ une distribution sur $V$ (je connais donc sa valeur sur tout $\phi$ à support dans $V$) et je voudrais restreindre $T$ sur les fonctions tests à support dans $U$. Oui mais si $\psi$ est à support dans $U$, alors en notant $\phi$ son extension par zéro à $V$, il me suffit de poser $$r_{U,V}(T)(\psi) = T(\phi).$$