Convergence dans D

Si $\varphi \equiv 0$ alors la suite est nulle, elle converge donc dans $\mathcal{D}(\R)$.
Si $\varphi \neq 0$. Soit $x \in \R$ fixé. Si $x= 2k \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$, alors $\lim_{n \to +\infty} \sin(n x)= 0$. Sinon, $\sin(n x)$ n'a pas de limite. On conclut que la suite $u_n$ ne converge pas simplement, et donc elle ne converge pas dans $\mathcal{D}$.
C'est rigoureux?

Je ne vois pas ce qui manque.8-)

Ah c'est vrai Poirot, j'ai oublié ce dernier cas.
Si $x \notin \mathrm{Supp\,} \varphi$, alors $u_n=0$, donc elle converge dans $\mathcal{D}(\R)$.
Avec ce dernier cas, tout est ok

Bonjour,
voici la solution que je propose.
Soit $x \in \R$ fixé.
1. Si $\varphi \equiv 0$, alors $u_n(x)=0, \ \forall x \in \R$, et la suite $(u_n)$ converge dans $\mathcal{D}(\R)$ vers la fonction identiquement nulle.
2. Si $\varphi \neq 0$, on a:
$\bullet$ Si $x = 2k \pi$, alors $\sin(2nk\pi)=0$, donc $u_n(x)=0$ et dans ce cas et $\lim_{n \to +\infty} u_n(x)=0$.
$\bullet$ Si $x \neq 2k\pi$ et $\varphi(x) \neq 0$, alors $u_n(x)$ n'a pas de limite.
$\bullet$ Si $n \neq 2 k \pi$ et $\varphi(x)=0$, alors $u_n(x)=0$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n(x)=0$.
On conclut que la suite $(u_n)$ ne converge pas simplement dans $\R$, et par conséquent elle ne converge pas dans $\mathcal{D}(\R)$.
C'est bon? S'il vous plaît.

Bonjour,
Poirot ne m'abandonnez pas s'il vous plaît. Bon, je pense avoir compris ce qui me manque. Je reprends.
Soit $x \in \R$ fixé.
1. si $x = k \pi$, avec $k \in \Z$, la suite de réels $(u_n(x))_n$ converge vers 0.
2. si $ x \neq k \pi$ avec $k \in \Z$, on étudie deux possibilités:
$\bullet$ Si $\varphi(x) =0$ alors la suite de réels $(u_n(x))$ converge vers 0.
$\bullet$ Si $\varphi(x) \neq 0$ alors la suite de réels $(u_n(x))$ n'a pas de limite.

On conclut que si $\varphi(x) \neq 0$ pour tout $x \neq k \pi$ avec $k \in \Z$, alors la suite de fonctions $(u_n)$ ne converge pas simplement dans $\R$, et si $\varphi(x)=0$ pour tout $x \neq k \pi$ avec $k \in \Z$, alors la suite de fonctions $(u_n)$ converge simplement vers 0.

C'est ok? S'il vous plaît.

c'est: il existe un homme qui ne s'appelle pas Patrick

Voici ma dernière rédaction.
Soit $x$ fixé dans $\R$. On distingue deux cas:
1. Si $\varphi=0$, alors $(u_n)_n$ converge simplement dans $\R$.
2. Si $\varphi \neq 0$.
$\bullet$ Si $x=k \pi$ avec $k \in \Z$, la suite $(u_n(x))_n$ converge vers zéro.
$\bullet$ Si $x \neq k \pi$ avec $k \in \Z$, on distingue deux cas:
-Si $\varphi(x)\neq 0$, alors la suite de réels $(u_n(x))_n$ n'a pas de limite.
-Si $\varphi(x)=0$, alors la suite de réels $(u_n(x))_n$ converge vers zéro.
Mais pour ce deuxième cas, il n'est pas valable quelque soit $x$ non multiple de $\pi$. En effet, puisque $\varphi$ n'est pas identiquement nulle, alors il existe $x_0 \in \R$ telle que $\varphi(x_0) \neq 0$, et puisque $\varphi$ est continue, il existe $V$ un voisinage de $x_0$ tel que $\forall x \in V: \varphi(x) \neq 0$ et ce voisinage contient forcément des éléments qui ne sont pas multiples de $\pi$.

Conclusion. Si $\varphi \neq 0$, alors la suite de fonctions $(u_n)$ ne converge pas simplement dans $\R$, et donc ne converge pas dans $\mathcal{D}(\R)$.

Bonjour,
on considère la suite $(\eta_n)$ donnée par $\eta_n(x)= \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n})$, et on étudie sa convergence dans $\mathcal{D}(\R)$.
Si $\varphi=0$ alors $(\eta_n)$ converge dans $\mathcal{D}$ vers 0.
Si $\varphi \neq 0$ alors on distingue deux cas:
$\bullet$ si $x = k \pi$ avec $k \in \Z$, alors $\sin(nx)=0$ et donc $\lim_{n \to +\infty} \eta_n(x)=0$.
$\bullet$ si $x \neq k \pi$ avec $k \in \Z$ . $\sin(nx)$ n'a pas de limite et $\lim_{n \to +\infty} \varphi(\dfrac{x}{n})=0$, on ne peut pas ditribuer la limite. Alors voilà ce que je propose
on a $-\varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \varphi(\dfrac{x}{n})$.
- Si $\varphi(0)=0$, alors $\lim_{n \to +\infty} \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n})=0$ et donc la suite réelle $\eta_n(x)$ converge vers 0.
- Si $\varphi(0) \neq 0$, alors la suite réelle $\sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n})$ n'a pas de limite.
On conclut alors que si $\varphi(0)=0$, la suite de fonctions $(\eta_n)$ converge simplement vers 0, et si $\varphi(0) \neq 0$ alors la suite $(\eta_n)$ ne converge pas simplement dans $\R$.

C'est ok? S'il vous plaît.

Oui, si elle ne converge pas simplement alors elle ne converge pas dans $\mathcal{D}$. Qu'est ce qu'il faut rajouter? S'il vous plaît.