"Par définition de la borne supérieure"

totzen
totzen
dans Analyse
Bonjour à tous. J'ai une question puisque je ne comprends pas quelque chose dans un exercice.

On a une suite $(x_n)$ d'éléments de $\mathbb{R}$. On note $y_n = \sup_{k \geq n} x_k$. Il y a alors écrit : Ensuite, par définition de la borne supérieure, il existe une fonction $\phi$ : $ \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ (qui n’est pas forcément strictement croissante) tq $ \phi(k) \geq n $ et $x_{\phi(k)} \rightarrow y_n$.

Je ne comprends pas cette propriété.
Si on parlait de valeur d'adhérence alors phi serait strictement croissante.
Mais alors pourquoi a t-on nécessairement une telle suite convergeant vers le sup ?

Merci !

Réponses

  • curiosity
    curiosity
    Il faut comprendre que la propriété est vraie "pour chaque $n$ à partir du moment où on le fixe".

    Soit donc $n_0$ un entier de $\mathbb N$, et $A$ l'ensemble des $x_k$ tel que $k\ge n_0$. Avec ces notations, la propriété s'énonce :

    "si $y=\sup A$, alors on peut trouver une suite $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ d'éléments de $A$ qui converge vers $y$."

    Est-ce que la propriété énoncée ainsi te surprend encore ?
  • totzen
    totzen
    Je dois avouer qu'elle me surprend toujours.

    Pourquoi a t-on nécessairement une telle suite ?
  • paf
    paf
    Quelle est la définition du sup d'une partie de $\mathbb R$ ? Écris-la avec des $\varepsilon$ et prends par exemple $\varepsilon=\dfrac 1n$ pour tout $n\in\mathbb N^*$.
  • totzen
    totzen
    $y= \sup A $ si $ \forall x \in A , x \leq y \Longleftrightarrow \forall \varepsilon := \frac1n, \exists z \in A, y-\frac1n < z \leq y $.

    Mais alors, il existe toujours un terme de notre suite entre $ y-\frac1n $ et $y$. Appelons les $x_{j}$ ces termes. A partir d'un certain rang, tous les $x_j$ sont entre $ y-\frac1n $ et $y$ soit $ -\frac1n < x_j -y < \frac1n $ soit $y$ limite de nos $x_j$
  • Poirot
    Poirot
    Que vient faire le symbole $\Leftrightarrow$ en plein milieu de ton message ?
  • curiosity
    curiosity
    C'est l'idée je pense, mais comme le suggère Poirot, la rédaction laisse à désirer car il y a un mélange entre la définition de la borne supérieure et la particularisation de cette définition avec des éléments qui sont intéressants pour répondre à la question...
    Par ailleurs, est-ce bien clair en ce qui concerne les éléments qui sont concernés par la propriété dont il était question dans le premier message ? C'est là qu'il faut déjà être bien au clair car tout le reste en dépend, et par exemple dans un écrit, c'est 0 à la question et passage à la suivante obligatoire si le décryptage de l'énoncé n'est pas réussi...

    Je suggère ensuite de réécrire la définition de la borne supérieure (dans le cas d'un sous-ensemble de R), puis de voir comment rédiger pour l'appliquer à la situation en particularisant les epsilon et tout le toutim...
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