somme de deux fonctions mesurables

Kilwa ZOLDIK
Kilwa ZOLDIK
dans Analyse
Bonjour tout le monde
Afin de démontrer que la somme de deux fonctions mesurables f et g est aussi mesurable on a définit dans le cours un ensemble.
Sr={x/f(x)>r}inter{x/g(x)>a-r} où a et un réel qq quelconque et ceci pour un rationnel r donné et on a directement posé la réunion des Sr pour r dans Q ={x/f(x)+g(x)>a}.
La chose qui me dérange c'est que je n'arrive pas à démontrer l'inclusion indirecte et ceci bien sûr pour un a qq quelconque dans R ; même en essayons essayant d'utiliser la densité de Q dans R.
Merci d'avance.

Réponses

  • Said Fubini
    Said Fubini
    $f(x)+g(x)>a$ <=> $f(x)>a-g(x)$ <=> il existe un rationnel $r$ tel que $f(x)>r>a-g(x)$ <=> il existe un rationnel $r$ tel que $f(x)>r$ et $r>a-g(x)$
  • Poirot
    Poirot
    Toute l'idée c'est que, par densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$, dès qu'on a $a < b$ avec $a$ et $b$ réels alors il existe au moins un rationnel $r$ tel que $a < r < b$.
  • Chalk
    Chalk
    Avis personnel, mais c'est tellement dommage de démontrer ce cas particulier (en dehors d'un simple exo mais comme tu parles de ton cours ...) alors qu'on a un théorème beaucoup beaucoup plus générique sur la mesurabilité d'une opération de deux fonctions.
  • remark
    remark
    .
  • Chalk
    Chalk
    Ah j'ai pas dit que c'était trivial. Ce que je voulais dire, c'est que dans le cadre d'un cours, je ne vois pas l'intérêt d'énoncer un théorème aussi particulier (sauf éventuellement comme corollaire du théorème général), et encore moins de le démontrer comme ici.
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