une équation de logique

Bonsoir ou Bonjour, enfin peu importe,

Je ne sais pas si c'est ce que tu cherches :

$(x,y)=(0,0)$ est une solution évidente. C'est la seule. En effet , $x$ est nul si et seulement si $y$ est nul , notons alors l'ensemble des autres solutions $\mathcal{S}^*$. Il est facile de voir que si $(x,y)$ est une solution, on a nécessairement $y>x$. Or :
$$\begin{align}
y>x,(x,y) \in \mathcal{S}^* &\Leftrightarrow& &\frac{y+1}{x+1}>\frac{x}{y},(x,y) \in \mathcal{S}^*& \\
&\Leftrightarrow& &4\frac{y+1}{x+1}>4\frac{x}{y},(x,y) \in \mathcal{S}^*& \\
&\Leftrightarrow& &\frac{x}{y} > 4\frac{x}{y},(x,y) \in \mathcal{S}^*& \\
&\Leftrightarrow& &\frac{x}{y}<0,(x,y) \in \mathcal{S}^*&
\end{align}.$$
Or , cette dernière condition est impossible puisqu'on travaille dans $\mathbb{N}^*$.
D'où le résultat.

Oui effectivement , on a aussi :
$$\begin{align}
y<x,(x,y) \in \mathcal{S}^* &\Leftrightarrow& &\frac{y+1}{x+1}<\frac{x}{y},(x,y) \in \mathcal{S}^*& \\
&\Leftrightarrow& &4\frac{y+1}{x+1}<4\frac{x}{y},(x,y) \in \mathcal{S}^*& \\
&\Leftrightarrow& &\frac{x}{y} < 4\frac{x}{y},(x,y) \in \mathcal{S}^*& \\
&\Leftrightarrow& &\frac{x}{y}>0,(x,y) \in \mathcal{S}^*&
\end{align}.$$
Et on n'est pas sorti de l'auberge...

Sinon, ayant effectivement $y<x$ pour toute solution $(x,y) \in \mathcal{S}^*$, on pose $\alpha := \frac{x}{y} \in ]1,4[$ et :
On voit que $\alpha=2 \Leftrightarrow x=2y \Leftrightarrow (x,y)=(0,0)$, alors $(x,y) \in \mathcal{S}^* \Leftrightarrow y=\frac{4-\alpha}{\alpha^2-4}$ et une simple étude de :
$$\begin{align}
f : &]1,4[ / \{2\}& &\rightarrow& &\mathbb{Q}& \\
&\alpha& &\mapsto& &\frac{4-\alpha}{\alpha^2-4}&
\end{align}.$$
montre que $y=f(\alpha)>0 \Leftrightarrow \alpha \in ]2,4[$. On calcule $f(3)=\frac{1}{5}$ qui prouve que $f$ ne passe par aucun point de coordonnées entières sur $]2,4[$. $\mathcal{S}^*$ est donc vide.

Je n'ai pas compris ta remarque GBZM.
L'équation d'inconnue $n$ suivante : $n+1=0$ peut être résolue dans $\mathbb{N}$ sans le recours à l'arithmétique. Pourtant, la réponse sera différente avec une inconnue réelle.
8-)

Moi, je n'ai rien demandé. Merci de bien lire.

L'équation d'inconnue $n$ suivante : $n+1=0$ peut être résolue dans $\mathbb N$ sans le recours à l'arithmétique

C'est de l'arithmétique, même très élémentaire. Qu'appelles-tu arithmétique ?