Intégrale à l'envers

Fin de partie · September 2017

Je cherche à exprimer (le nombre $G\pi^2$ sous forme d'intégrale simple (non double, non triple...) d'une fonction usuelle (non spéciale)
Et les nombres $\pi,G$ ne doivent pas apparaître dans l'expression de l'intégrale.

Bien entendu, j'exclus les intégrales des types suivants:
$\displaystyle \int_0^1 G\pi^2 \,dx$
et,
$\displaystyle \frac{1}{16} \int_0^1 \left(\dfrac{2F(x)\arctan^2 x}{1+x^2}+\frac{\arctan^3 x}{x}\right)\,dx$
avec,
$\displaystyle F(x)=\int_0^x \frac{\arctan t}{t}\,dt$

Merci d'avance.

PS:
$G$ est la constante de Catalan.

jean lismonde · September 2017

bonjour

pour satisfaire ton caprice mathématique je peux te donner :

$$\int_0^1\frac{1}{t}Arctan(t^\frac{1}{\pi^2})dt = \pi^2.G$$

ou encore $$\int_0^1\frac{lnt}{t^{1-\frac{1}{\pi}}(1+t^\frac{2}{\pi})}dt = - \pi^2.G$$

cordialement

PS : notre ami Yves va t'en donner d'autres sûrement

gebrane · September 2017

@JL
FDP dit que le $\pi$ ne doit pas apparaître dans l'expression intégrale ( ni dans les bornes ni dans l’intégrante )

Fin de partie · September 2017

Jean Lismonde:

Ce n'est pas un caprice.
J'ai le calcul d'une intégrale effectué par un développement en série de Fourier. Je cherche une démonstration alternative à base d'intégrales seulement (autant qu'il est possible).
L'intégrale est égale à une somme de constantes comme $G\pi^2$ et j'essaie de remplacer chaque constante de la somme par une intégrale en espérant que je sois capable de calculer l'intégrale totale résultante pour montrer qu'elle est égale à l'intégrale calculée initialement par développement en série de Fourier. Je ne sais pas si la démarche va aboutir, je ne sais pas si ma question à une réponse telle que je la souhaite.

PS:
L'intégrale dont je parlais est la suivante:
$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{(\arctan x)^2}{1+x^{2}}\ln\left ( 1+x^{2} \right )\mathrm{d}x$

Intégrale à l'envers

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