Inégalité

Vos deux contre-exemples fonctionnent bien merci !

Qu'entends-tu par "A part ça tout va très bien" ?

Ah bien vu le théorème des accroissements finis ! Je vais regarder ça

Effectivement, le Théorème des accroissements finis nous donne un critère intéressant pour lequel l'inégalité est vrai (si le "$c$" est $\ge$ à $p^{p/(1-p)}$ si je ne m'abuse ?).

De manière plus générale, peut t-on alors conclure de cela que le bien connu théorème de convergence dominé dans Lp n'implique pas que l'on puisse intervertir la limite et l'intégrale ?

Théorème de convergence dominée dit que si
• $(E, \Omega, \mu) un espace mesuré$
• $f_n \rightarrow f$ p.s.
• il existe $g \in L^p$ tq $|f_n|\le g$
Alors

• $||f_n - f||_{L^p} \rightarrow 0$ , autrement dit : $(\int{|f_n - f|^p}d\mu)^{(1/p)} \rightarrow 0$

Mais je prétends que ceci n'implique pas que

• $\int{|f_n|^p}d\mu \rightarrow \int{|f|^p}d\mu$ ,autrement dit : $|\int{|f_n|^p}d\mu - \int{|f|^p}d\mu| \rightarrow 0$

Car on a par la propriété de la norme que :

• $|(\int{|f_n|^p}d\mu)^{(1/p)} - (\int{|f|^p}d\mu)^{(1/p)}| \le (\int{|f_n - f|^p}d\mu)^{(1/p)}$

On cherche donc à savoir si

• $|\int{|f_n|^p}d\mu - \int{|f|^p}d\mu| \le |(\int{|f_n|^p}d\mu)^{(1/p)} - (\int{|f|^p}d\mu)^{(1/p)}|$ ?

Donc si on pose $a_n = \int{|f_n|^p}d\mu$, et $a = \int{|f|^p}d\mu|$, on en revient à l'inégalité plus haut, qui ne fonctionne pas.
Donc on en vient à ma conclusion au dessus.

Confirmez-vous ?

Ah oui et la première inégalité que j'ai donné (et donc vos contre-exemples) ne coïncide pas avec le fait que $f_n \rightarrow f $ p.p. ! Donc elle peut très bien se tenir pour une suite de fonction convergente p.p., non ?