Inégalité de Cauchy-Schwarz
Bonjour à tous,
j'ai découvert en cours la démo de l'inégalité de Cauchy Schwarz qui utilise le discriminant :
On veut prouver que dans un espace normé E sur R muni d'un produit scalaire, on a :
$$ \forall x, y \in E, | \langle x,y \rangle | \leq \| x \| \| y \|$$ .
Pour ça on voit que $$ 0 \leq \langle x+ty,x+ty \rangle = \|x\|^2 + 2t \langle x,y \rangle + t^2 \|y\|^2$$
en utilisant la définition. Or c'est un trinôme du second degré en t donc comme il n'est jamais négatif, le discriminant est négatif ou nul :
$$ 0 \leq \Delta = 4(\langle x,y \rangle ^2 - \|x\|^2 \|y\|^2)$$
Cette démonstration est bonne que si $||y||$ est non nulle car sinon on a pas à faire à un polynôme du second degré. Ma question est de savoir si quelqu'un peut m'aider en faisant le cas $||y||=0$???
j'ai découvert en cours la démo de l'inégalité de Cauchy Schwarz qui utilise le discriminant :
On veut prouver que dans un espace normé E sur R muni d'un produit scalaire, on a :
$$ \forall x, y \in E, | \langle x,y \rangle | \leq \| x \| \| y \|$$ .
Pour ça on voit que $$ 0 \leq \langle x+ty,x+ty \rangle = \|x\|^2 + 2t \langle x,y \rangle + t^2 \|y\|^2$$
en utilisant la définition. Or c'est un trinôme du second degré en t donc comme il n'est jamais négatif, le discriminant est négatif ou nul :
$$ 0 \leq \Delta = 4(\langle x,y \rangle ^2 - \|x\|^2 \|y\|^2)$$
Cette démonstration est bonne que si $||y||$ est non nulle car sinon on a pas à faire à un polynôme du second degré. Ma question est de savoir si quelqu'un peut m'aider en faisant le cas $||y||=0$???
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Réponses
Je m'excuse mais je vais réécrire cela.
@poli : ça ne change rien
Si $\|y\|=0$, on a $\|x\|^2+2t\left \langle x,y \right \rangle\geq0$ pour tout $t\in\mathbb{R}$, cela n'est possible que $\left \langle x,y \right \rangle=0$
Peux tu démonstrer cela??? Car je n'y arrive pas.
Le vecteur nul n'a pas de direction, je préfère dire que c'est une convention sachant qu'une convention peut être de montrable. Un exemple célèbre de convention démontrable est $0!=1$ ( il y a un fil à ce sujet)
$<0,x> =0$ n'est clairement pas une définition, c'est une simple application de la linéarité.
c' est une convention, mais pour ne pas polluer le fil, j’arrête de débattre http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,291677,291693
Il faut que je retrouve l'autre fil qui est plus interessant sur la preuve de 0!=1
Mais pour le produit scalaire je t'assure qu'aucune définition n'impose $<x,0>=0$, ou alors il faut nous dire où t'as vu ça ...
C'est très utilisé en physique pour ne pas se casser la tète avec la definition mathématique
il y a rien à démontrer dans le cas de $\|y\|=0$, qu'est ce que tu n'as pas compris?
Mais même avec la définition géométrique ça reste une propriété et non une définition.
Or pour tout forme bilinéaire $b:E\times E\to K$; on a $b(x,0)=b(0,y)=0.$
Démo: Par définition , les applications $b(x,_-)$ et $b(-_,y)$ sont linéaires. Or, une application linéaire envoie le vecteur nul sur le vecteur nul.
Relis ce message sinon : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1532248,1532282#msg-1532282 ;-)
Edit : t'as édité ton message, pas de soucis :-)
Désolé, le rhume de cerveau atteint le peu de neurones qu'il me reste
$\forall x,y \in E$ et $\alpha \in \mathbb C$ on a:
$$ |<x,y>|\le<x,x><y,y>$$.
En effet soit $x,y \in E$ $\alpha \in mathbb C$,On a:
$$0\le<x-\alpha y,x-\alpha y>
=<x,x>-\alpha<y,x>-\bar{<x,y>}+|\alpha|^2<y,y>.$$
Supposons que$<y,x>=be^{i\beta}$, où b\ge0. $\beta \in \mathbb R$. Choisissons $\alpha=te^{-i\beta}$, $t\in \mathbb R$. On a alors:
$$ 0\le<x,x>-te^{-i\beta}be^{i\beta}-te^{i\beta}be^{-i\beta}+t^2<y,y>$$
D'où $$0\le c-2bt+at^2=q(t)$$. Avec $$c=<x,x>,a=<y,y>$$
Si <y,y> est non nul alors $q$ est un polynôme du second dégré et donc le discriminent réduit est négatif i.e.$$ |<x,y,>|^2-<x,x><y,y>\le0$$.
Maintenant si $<y,y>=0$ alors $q$ n'est plus du second dégré et je ne sais pas comment faire. Merci pour l'aide.
Je te rappelle que je suis encore étudiant et je viens du secondaire :-D
Puisque ma forme n'est pas un produit scalaire je peux avoir $<y,y>=0$ sans que $y $ne soit nul.
Tu devrais apprendre ton cours correctement.
Regarde ce message poli : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1532248,1532266#msg-1532266
Ce n'est pas le cas y=0 qui néccessite un traitement particulier mais plutôt le cas $\langle y,y \rangle=0$.
Maintenant je dois démontrer le rappel de fliflop. Merci.
Mais si t'as quand même un soucis reviens demander de l'aide. Faut pas rester dans le doute.
$ax+b\ge 0$ si et seulement si $(a=0 ,b\ge 0)$
*) supposons que $ax+b\ge 0$ alors pour $x=0$ on a $b\ge0$.
Résultat brute @skyffer pouvez vous m'aider????
Mais la propriété $\forall x \in E, \phi (x,x) = 0 \iff x = 0$ peut être omise dans la preuve où $\phi$ est le produit scalaire.
Ceci est bien entendu faux. Contre-exemple, $x=1, a=2, b=-1$.
Ce que tu veux montrer est $$(\forall x \in \mathbb R, ax+b \geq 0) \Rightarrow (a=0 \text{ et } b \geq0).$$
C'est encore mieux ton exemple
Un ordre écrit, transmis à un gardien d'une prison "tuez, pas libérez" vs "tuez pas, libérez"
Bruno