espace de Banach, suite de Cauchy — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

espace de Banach, suite de Cauchy

nourhane attianourhane attia
dans Analyse
Bonjours
Aidez-moi svp la question 2
On munit l'espace $E$ des fonctions réelles de classe $C^1$ sur l'intervalle $[0;1]$ de la norme
\[
\|x\|=|x(0)|+\sup_{t\in[0;1]}|x'(t)|
\]
1- Vérifier que c'est une norme.
2- montrer que $(E;\|\cdot\|)$ est un espace de Banach.
merci.

Réponses

  • PoirotPoirot
    Connais-tu la définition d'un espace de Banach ?
  • nourhane attianourhane attia
    oui, espace de Banach est un espace normé complet, il me reste de montrer que l'espace est complet c'est à dire de montrer que tout suite de Cauchy sur cet espace est convergente, et ici où je trouve des difficultés .
  • Said FubiniSaid Fubini
    indication : pour tout $t\in [0,1]$
    $$x(t)=x(0)+\int _0^t x'(s)ds$$
  • PoirotPoirot
    nourhane a écrit:
    il me reste de montrer que l'espace est complet c'est à dire de montrer que tout suite de Cauchy sur cet espace est convergente, et ici où je trouve des difficultés .

    Et bien on commence, on ne reste pas là à rien faire : soit $(x_n)_n$ une suite d'éléments de $E$ qui est de Cauchy pour la norme $||.||$. Écris explicitement ce que ça veut dire, et essaye de conclure à l'existence d'une limite dans $E$ pour cette suite.
  • ChalkChalk
    On peut aussi sortir le bazooka, en invoquant la complétude de l'espace des fonctions bornées puis le théorème de convergence uniforme vers une fonction $C^1$ quand on a la convergence ponctuelle et la convergence uniforme des dérivées.

    Bon j'ai pas vérifié le détail mais si ça marche je pense que ça permet de raccourcir considérablement la démo.
  • PoirotPoirot
    @skyffer3 : oui bien sûr, mais comme nourhane n'a pas l'air du tout à l'aise là-dessus, je pense que le plus simple est de s'attaquer au problème à la main.
  • ChalkChalk
    Oui oui je ne connais pas ses pré-requis :-) Après les deux théorèmes dont je parle sont du niveau spé, c'est pas fou non plus.

    Mais c'est très bien de refaire à la main, c'est instructif. Mais on se retrouve probablement à devoir implicitement redémontrer plus ou moins ces deux théorèmes, du coup ça risque d'être un peu long ^^
  • ChalkChalk
    C'est un exercice intéressant, ce serait dommage de pas aller au bout. Demande de l'aide si tu as cherché et pas trouvé.
  • nourhane attianourhane attia
    dans ce exercice j'ai utiliser le fait que cette norme est équivalente à la norme :$\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty$ et j'ai trouver le résultat. est ce que c'est vrai?
  • ChalkChalk
    C'est vrai que ces deux normes sont équivalentes (sauf erreur de ma part, j'ai vérifié en vitesse), c'est vrai que si deux normes sont équivalentes, alors si l'espace est complet avec une il est complet avec l'autre.

    Mais comment démontres-tu que $(E;\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty)$ est complet ? Au final j'ai pas l'impression que ça simplifie le problème de passer par cette nouvelle norme, a priori on doit toujours montrer plus ou moins la même chose.
  • nourhane attianourhane attia
    Oui t'as raison, mais je ne savais pas comment faire avec le terme $|x(0)|$ donc j'ai essayé de appliquer le théorème de la convergence uniforme avec $\|x\|_\infty+\|x'\|_\infty$ comme suit.
    Supposons que $x_n$ une suite de Cauchy de $(E,\|\cdot\|)$ alors elle est de Cauchy de $C([0,1])$ muni de la norme $\|\cdot\|_\infty$ qui est un espace complet d'où la suite $x_n$ converge vers une fonction $x$ continue.
    et la même chose pour $x'_n$ du même espace qui converge vers une fonction $y$ continue.
    ainsi $x_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction $x$ et $x'$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction $y$ et d'après le théorème de convergence uniforme on déduit que $x$ est de classe $C^1$ et que $x'=y$, de plus $\|x_n-x\|_\infty$ et $\|x'_n-y\|_\infty\rightarrow 0$ c'est-à-dire $\|x_n-x\|\rightarrow 0$ donc l'espace $(E,\|\cdot\|)$ est complet.
    C'est ça !!

    [Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
  • ChalkChalk
    nourahne a écrit:
    et d'après le théorème de convergence uniforme on déduit que $x$ est de classe $C^1$

    Je ne sais pas à quel théorème tu fais allusion, parce que si c'est le théorème que j'ai évoqué au-dessus tu n'as pas besoin de la convergence uniforme de $x_n$. Et du coup passer par ta nouvelle norme est inutile. Je t'invite à regarder l'énoncé exact du théorème, il ne requiert que la convergence de $x_n(a)$ pour un seul point $a$ (ici on prendrait évidemment $a=0$), et bien sûr la convergence uniforme de la suite des dérivées.
  • nourhane attianourhane attia
    tu parles à ce théorème?
    théorème: soit $(f_n)$ une suite de fonction de classe $C^1$ sur $I$. On suppose que :
    1- il existe $x_0$ dans $I$ tel que $f_n(x_0)$ converge.
    2- $(f'_n)$ converge uniformément vers une fonction $g$ sur $I$.
    Alors $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$ sur $I$, $f$ est $C^1$, et $f'=g$.
  • ChalkChalk
    Oui ! (juste changer $f_n(0)$ par $f_n(x_0)$)

    Alors pourquoi avoir changé de norme, ça n'a rien apporté ... C'est même moins naturel et en plus tu dois prouver l'équivalence des normes.
  • nourhane attianourhane attia
    ouiiii, merci beaucoup :-D
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!