Oral Mines-Ponts (niveau PC)

Bonjour,

Pour les deux exos et des milliers d'autres, lorsque les bornes d'intégration sont 0 et 1 et que le dénominateur est de la forme 1 + truc, on développe le dénominateur en série (puisque la raison est inférieure à 1 en valeur absolue) et on intègre terme à terme après avoir justifié l'inversion.

Le premier exo peut se traiter par un télescopage un peu caché .
Quelqu'un le voit-il ? :-D

Pour $ \displaystyle \int_0^1 \frac{t^2 \ln(t)}{t^2 - 1}dt = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}$, la décomposition en éléments simples n'est pas indispensable, on applique seulement la méthode décrite par YvesM en utilisant : $ \displaystyle \int_{0}^{1 }x^{n}\ln xdx=-\frac{1}{(n+1)^{2}}$.

L'interversion se justifie par un argument de convergence normale, mais on peut aussi expliciter le reste de la série géométrique dans les classes où cette notion n'est pas au programme.

Apparemment YvesM et Fabrice2 ne sont comme moi que de vils collectionneurs d'exercices de colles, étrangers aux Mathématiques Sublimes : comment s'en consoler ?

Bonne soirée à ceux qui font des maths, au lieu de bavarder à l'infini à leur sujet,
Fr. Ch.

@ Fabrice2
Si j'ai bien compris, tu es en PC. Tu as donc un cours sur la convergence des suites et séries de fonctions.
<https://www.scei-concours.fr/CPGE/BO/Mathematiques_PC.pdf&gt;
Pour prouver : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+x} = \int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t} dt$, il faut développer en série entière $ \frac{1}{1+t} $ et justifier l'interversion série-intégrale.
La série de terme général $ (-1)^n t^{n+x-1}$ ne converge pas normalement sur $[0,1]$, mais elle y converge uniformément en raison du théorème spécial pour les séries alternées, qu'on appelait naguère « critère ». Et cette convergence uniforme justifie l'interversion.
Il me semble que ce sont des maths, ou alors c'est quoi ?
Bonne nuit.
Fr. Ch.

Bonjour,

Pour justifier l'existence de $f(x)$ on peut calculer $f(x)-f(0)$ qui converge absolument (Riemann) et donc qui converge. Comme $f(0)$ converge par le critère des séries alternées, alors $f(x)$ converge comme somme de deux séries convergentes.

@Chaurien

Ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1535318,1535510#msg-1535510 t’était destiné exclusivement, Je croyais que tu me féliciterais d'avoir écrit correctement le mot dommage, puisque c'est une faute d’écrit très répandue.

Fabrice2 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1535318,1535490#msg-1535490
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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Une autre idée: on casse l'intégrale en la somme sur n des intégrales sur $[n\pi,(n+1)\pi]$, puis on fait apparaître une série alternée. Enfin, avec les bons changements de variable, on montre que cette série respecte bien le critère connu donc converge.

@ odranoel_vie
Je ne suis pas très convaincu que la série obtenue satisfasse à toutes les conditions du Critère Spécial.

Il me semble qu'un developpement assymptotique regle la question sur la convergence de $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{sin(t)}{\sqrt{t} + cos(t)}dt$ . on montre sauf erreur que cette integrale est de meme nature que $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{sin(2t)}{t}dt$

$\bullet $ Au fond mon idée est la même que celle de gebrane0, mais « à la main », sans formule de développement limité, en soustrayant l'équivalent comme j'ai dit, afin d'obtenir une fonction qui tend vers $0 $ plus vite en $ + \infty$, et en recommençant autant que nécessaire.

$\bullet $ Ceci se rédige comme suit. On a pour $t>0$ : $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}+\cos t}-\frac{1}{\sqrt{t}}=\frac{-\cos t}{\sqrt{t}(\sqrt{t}+\cos t)}$, d'où :
$ \displaystyle \frac{\sin t}{\sqrt{t}+\cos t}=\frac{\sin t}{\sqrt{t}}-\frac{\sin t\cos t}{\sqrt{t}(\sqrt{t}+\cos t)}=\frac{\sin t}{\sqrt{t}}-\frac{\cos t}{\sqrt{t}}\cdot \frac{\sin t}{\sqrt{t}+\cos t}$
$\displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ =\frac{\sin t}{\sqrt{t}}-\frac{\cos t}{\sqrt{t}}(\frac{\sin t}{\sqrt{t}}-\frac{\sin t\cos t}{\sqrt{t}(\sqrt{t}+\cos t)})=\frac{\sin t}{\sqrt{t}}-\frac{\sin 2t}{2t}+\frac{\sin t\cos ^{2}t}{t(\sqrt{t}+\cos t)}$.
Somme de deux intégrales semi-convergentes et d'une intégrale absolument convergente, et ces trois donnent la nature de l'intégrale proposée.

$\bullet $ Cette méthode s'applique aussi à $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t} + \sin t}dt $, et aux deux autres analogues. Nous en avions parlé il y a longtemps dans « Le Nouvel Archimède ».

Bonne journée, déjà automnale.
Fr. Ch.
01/10/2017

@gebrane0

1. Je travaille depuis longtemps avec les petits $o$ et ils me donnent satisfaction car leur maniement me semble plus simple. J'ai souvenance d'un échange sur ce forum il y a quelque temps où le développement asymptotique avec les petits $o$ était automatique alors qu'avec les grands $O$ il fallait toutes sortes de contorsions. Mais si d'autres veulent faire autrement, je n'y vois pas d'inconvénient.

2. Il me semble maladroit de commenter ton égalité $ \displaystyle \frac{\sin t}{\sqrt{t}+\cos t}=\frac{\sin t}{\sqrt{t}}-\frac{\sin 2t}{2t}+O\Big(\frac 1{t^{\frac 32}}\Big)$ en disant que l'intégrale proposée est de même nature que la deuxième du second membre au motif que le première et la troisième sont convergentes. Autant dire qu'elle est de même nature que la première au motif que la deuxième et la troisième sont convergentes, ou qu'elle est de même nature que la troisième ..., etc.
Mieux vaut me semble-t-il regarder les trois, et dire que l'on a deux intégrales semi-convergentes et la troisième absolument convergente, d'où une somme convergente.
Mais c'est juste un détail de rédaction, l'essentiel est que nous ayons trouvé.
Au fait ma solution à moi n'utilise aucun $o-O$, ni grand ni petit.
On peut aussi étudier les trois autres intégrales analogues : $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t} + \sin t}dt$, $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\cos t}{\sqrt{t} + \sin t}dt$, $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\cos t}{\sqrt{t} + \cos t}dt$, en changeant la borne $0$ en $1$ ou $ \frac {\pi}{2}$, comme tu dis, si besoin est, ce n'est pas cette borne qui fait problème.

Pas de nouvelles de Fabrice2 ...
Bonne journée.
Fr. Ch.

Une remarque.
La méthode que je propose conduit à : $ \displaystyle \frac{\sin t}{\sqrt{t} +\sin t}=\frac{\sin t}{\sqrt{t}}-\frac{\sin ^{2}t}{\sqrt{t}(\sqrt{t}+\sin t)}$.
L'intégrale $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t} + \sin t}dt $ est donc divergente, alors que l'intégrale de la fonction équivalente $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}}dt $ est convergente.
C'est un contre-exemple pour inciter à appliquer la règle de l'équivalent avec parcimonie et à bon escient ;-).
Et pourtant, l'équivalent nous a été est utile, mais judicieusement mis à contribution. C'est ce que nous disions dans « Le Nouvel Archimède » n° 3, décembre 1984. Comme le temps passe.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

bonjour gebrane

tu as modifié la borne inférieure de façon à ce que $lnt + cost$ ne s'annule pas dans l'intervalle d'intégration, c'est bon

tu changes $\sqrt{t}$ par $lnt$ mais cela n'empêche nullement d'effectuer un développement limité

sachant que pour t > 4 alors $cost < lnt$ :

$\int_4^{+\infty}\frac{sint}{lnt}[1 - \frac{cost}{lnt} + \frac{cos^2t}{ln^2t} - ......]dt = \int_4^{+\infty}\frac{sint}{lnt}dt - \int_4^{+\infty}\frac{sint.cost}{lnt}dt + .....$

à présent pour ce qui est de la nature de cette intégrale tu es dans la même difficulté que dans les exemples d'intégrales
donnés par notre ami Chaurien, sachant que ton intégrale est probablement convergente (sinus au numérateur et cosinus au dénominateur)

cordialement

Convergence de l'intégrale $\displaystyle \int_{3}^{+ \infty}\frac{\sin t}{\ln t+\cos t}dt$.
La borne $3$ suffit en bas, et même j'ai l'impression que la borne $1$ suffirait mais c'est une autre histoire.

Comme il y a un sinus au numérateur et un cosinus au dénominateur, je pars avec l'idée que j'ai eue l'autre nuit, mais qui ne me semblait pas marcher dans l'exemple précédent, et je mets de force au numérateur l'opposé de la dérivée du dénominateur, pour avoir une primitive élémentaire :
$\displaystyle \frac{\sin t}{\ln t+\cos t}=\frac{-\frac{1}{t}+\sin t}{\ln t+\cos t}+\frac{1}{t(\ln t+\cos t)}$.
Puis je soustrais l'équivalent : $\displaystyle \frac{1}{\ln t+\cos t}-\frac{1}{\ln t}=\frac{-\cos t}{\ln t(\ln t+\cos t)}$, d'où :
$\displaystyle \frac{1}{t(\ln t+\cos t)}=\frac{1}{t\ln t}-\frac{\cos t}{t\ln t(\ln t+\cos t)}$, et par suite :
$\displaystyle \frac{\sin t}{\ln t+\cos t}=\frac{-\frac{1}{t}+\sin t}{\ln t+\cos t}+\frac{1}{t\ln t}-\frac{\cos t}{t\ln t(\ln t+\cos t)}$.
Là j'espère qu'il n'y a pas d'erreur de calcul.

Si c'est le cas alors pour $T \geq 3$ :
$\displaystyle \int_{3}^{T}\frac{\sin t}{\ln t+\cos t}dt=\int_{3}^{T}\frac{-\frac{1}{t}+\sin t}{\ln t+\cos t}dt+\int_{3}^{T}\frac{1}{t\ln t}dt-\int_{3}^{T}\frac{\cos t}{t\ln t(\ln t+\cos t)}dt$.
Pour la troisième intégrale on a : $\displaystyle \left\vert \frac{\cos t}{t\ln t(\ln t+\cos t)}\right\vert \leq \frac{1}{t\ln t(\ln t-1)}\sim \frac{1}{t(\ln t)^{2}}$ quand $t\rightarrow +\infty $.
Cette troisième intégrale est donc absolument convergente.
Il en résulte, quand $T\rightarrow +\infty $ : $\displaystyle \int_{3}^{T}\frac{\sin t}{\ln t+\cos t}dt= -\ln (\ln T+\cos T)+\ln \ln T+C+o(1)=...$
$\displaystyle = -\ln (\frac{\ln T+\cos T}{\ln T})+C+o(1)=-\ln (1+\frac{\cos T}{\ln T})+C+o(1)=C+o(1)$.
Donc, intégrale convergente ... sauf erreur, prière de vérifier.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
01/10/2017

Je ne connais pas bien le maniement de wolframalpha, mais c'est un des exercices que je proposais à mes élèves de Math Sup, démontrer que $\cos x + \ln x$ ne s'annule pas sur $[1,+\infty[$.

Bravo pour cette démonstration, il fallait penser à faire apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur pour faire apparaître un t en facteur au dénominateur!

Pour justifier la convergence de $\displaystyle \int_{2}^{+ \infty}\frac{\sin mt}{(\ln t)^\alpha}dt$ et de $\displaystyle \int_{2}^{+ \infty}\frac{\cos mt}{(\ln t)^\alpha}dt$ on peut aussi faire une intégration par parties. Pour $\alpha>0$ et $a\neq0$:
$\displaystyle \int_{2}^{+ \infty}\frac{\cos( at+b)}{(\ln t)^\alpha}dt=\left[\frac{\sin (at+b)}{a(\ln t)^\alpha}\right]_{2}^{+ \infty}+\frac{\alpha}a\int_{2}^{+ \infty}\frac{\sin( at+b)}{t(\ln t)^{\alpha+1}}dt$ et cette dernière intégrale est absolument convergente.

Mon cher Siméon

Je t'avoue , je ne comprends pas la première égalité. Peut-tu détailler ton savoir avec les intéressés (en détresse)

Ok merci Cher Siméon , je vais voir.

A chaque fois, que je vois une intégrale ou série avec un dénominateur $\ln(x)+\cos(x)$, cela me donne une peur bleue ! exemple http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1472074,1472074#msg-1472074