Borne sup de fonctions linéaires par morceaux

mehdi
mehdi
dans Analyse
Bonjour

Est-ce que la borne supérieure d'un nombre fini de fonctions linéaires par morceaux est une fonction linéaire par morceaux ?
Merci.

Réponses

  • Said Fubini
    Said Fubini
    $Max(a_1,a_2,......,a_n)=Max(a_1,Max(a_2,.....a_n))$
    Donc il suffit de le prouver pour deux telles fonctions.
    indication: on ordonne les extrémités des intervalles ....
  • gebrane
    gebrane
    La question n'est pas claire pour moi , je prends une seule fonction linéaire par morceaux, çà veut dire quoi sa borne supérieure ? ( pour dire que sa borne supérieure est aussi une fonction linéaire par morceaux )
    Le 😄 Farceur


  • Chalk
    Chalk
    C'est la fonction qui à chaque $x$ associe la borne sup des $f_i(x)$ (pour $i\in I$, $I$ fini) avec $f_i$ tes fonctions linéaires par morceaux. S'il n'y en a qu'une c'est la même fonction alors.
  • mehdi
    mehdi
    bonjour,

    Soit $f$ une fonction Borélienne de $\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ et $g(x) = \chi_{]a,b]}(f(x)).$

    1. Est ce que $g$ est une fonction en escalier ?

    2. Est ce que toute fonction Borélienne est limite d'une suite des fonctions en escalier ?

    merci
  • mehdi
    mehdi
    Bonjour
    C'est quoi l'ensemble des limites simples des fonctions en escaliers ?

    [Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
  • Poirot
    Poirot
    Cet ensemble contient au moins l'ensemble des fonctions réglées. Contient-il des fonctions non réglées ?
  • Poirot
    Poirot
    $g(x)$ vaut $1$ lorsque $f(x) \in [a, b[$ et $0$ sinon. Donc $g$ est la fonction indicatrice de $f^{-1}([a,b[)$, qui n'a aucune raison d'être une réunion finie d'intervalles.
  • Chalk
    Chalk
    Je pense que oui, via l'argument irréfutable que "sinon ça se saurait" :-D
    Mais quelqu'un va venir avec un argument un peu plus sérieux j'espère.
  • gilles benson
    gilles benson
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_réglée

    ce n'est pas si simple
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • mehdi
    mehdi
    merci Poirot,




    1. Est ce que g est une limite simple d'une suite des fonctions en escalier ?

    2. C'est quoi l'ensemble des limites simples d'une suite des fonctions en escalier ?

    merci
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