Unicité de la solution du Cauchy-Lipschitz

YousAk · October 2017

Bonjour,
Si la fonction n'est pas localement lipshitizienne alors la solution du problème de Cauchy-Lipschitz n'est pas unique ,je cherche un exemple pour montrer ça

Tryss · October 2017

Exemple classique : $y' = 2\sqrt{y}$

Les solutions sont de la forme :

$\forall t < a, y(t) = 0$
$\forall t \geq a, y(t) = (t-a)^2$

Il existe donc une infinité de solutions vérifiant $y(0) = 0$ (il suffit de choisir un a positif)

EtIlo · October 2017

Pour compléter la réponse ci-dessus:
En réalité le théorème de Peano-Arzèla affirme que la continuité suffit à fournir l'existence de solution(s) locale(s) (mais pas l'unicité). Il faut donc chercher des contre-exemples dans la classe des fonctions continues mais non lipschitziennes. Typiquement, c'est la non-linéarité (comme dans l'exemple précédent qui est tout à fait valable) qui va fournir l'existence de plus d'une solution.