Les nombres complexes n'ont pas de signes
Bonjour !!
Je revois les nombres complexes et en revoyant les méthodes de recherche d'une racine carrée d'un nombre complexe, je suis tombé sur la phrase "les nombres complexes n'ont pas de signes" que j'ai du mal à comprendre. Cela laisse sous-entendre que z=-z si le signe importe peu pour les complexes. Or, selon son signe, le nombre complexe occupe une place différente dans le plan complexe. Il semble donc différent. Quelqu'un pourrait m'indiquer pourquoi les nombres complexes n'ont pas de signe et pourquoi leur position dans le plan complexe est considérée comme identique à une rotation de 180° près ?
Merci !!
Je revois les nombres complexes et en revoyant les méthodes de recherche d'une racine carrée d'un nombre complexe, je suis tombé sur la phrase "les nombres complexes n'ont pas de signes" que j'ai du mal à comprendre. Cela laisse sous-entendre que z=-z si le signe importe peu pour les complexes. Or, selon son signe, le nombre complexe occupe une place différente dans le plan complexe. Il semble donc différent. Quelqu'un pourrait m'indiquer pourquoi les nombres complexes n'ont pas de signe et pourquoi leur position dans le plan complexe est considérée comme identique à une rotation de 180° près ?
Merci !!
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Réponses
Le texte veut sans doute décrire qu'il n'y a pas de relation d'ordre : '' plus grand que '' ou '' plus petit que '' pour les nombres complexes ET non réels.
Tu peux essayer de le démontrer : suppose que l'on peut écrire une relation d'ordre entre deux nombres complexes ET non réels (bien choisis) et cherche une contradiction.
Il existe bien un ordre dans $\R^2$ ordre lexicographique donc aussi dans $\C$ mais le problème pour les algébriques, c'est que de tels ordres dans $\C$.... je laisse un algébrique raconter l'histoire
edit http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,175430,175432#msg-175432
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,313074,313086#msg-313086
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,283223,283228#msg-283228
Je vois que personne n'a relevé ta phrase " Cela laisse sous-entendre que z=-z si le signe importe peu pour les complexes." où tu confonds allègrement le - opératoire (celui qui fait passer de z à son opposé) avec le signe des réels (plutôt "positif", "négatif" que +,-).
J'espère que tu comprendras l'importance de ne pas confondre, et que tu sais depuis longtemps que si x est un réel, -x n'est pas négatif. Je place cette phrase sur le compte de la fatigue :-)
Cordialement.
On peut donner un ordre sur $\mathbb C$ mais il n'est pas compatible avec la structure de corps, notamment, multiplier par un "complexe positif" (le cas échéant, formulation dangereuse, attention) les deux membres d'une inégalité.
Par exemple, si l'on décrète que $i>0$, alors en multipliant par $i$ on a une contradiction (si l'on veut un prolongement de l'ordre sur $\mathbb R$). Idem, si on choisit $i<0$ alors $-i>0$ etc.
Ce que je viens de dire n'est pas une démonstration formelle, mais donne une idée des "problèmes".
Je n'aime pas dire que 10 est strictement positif quand on considère que 10 est complexe.
Évidemment que le nombre réel 10 est positif. Mais je parle des demis plans complexes positifs et négatifs...
Ne m'engueulez pas !
C'est un peu comme quand je travaille dans le groupe ($\mathbb Z /5\mathbb Z$,+), je ne multiplie pas les éléments.
Bon l'exemple est mal choisi, mais même !
Il faut proposer un théorème et demander une preuve.
La question n'est pas "ordre utile ou pas".
On peut ordonner l'ensemble $\mathbb C$ sans aucun problème. Par exemple l'ordre lexicographique. On peut même choisir un bon ordre sur l'ensemble $\mathbb C$. Et d'ailleurs, cette propriété est valable pour n'importe quel ensemble.
Pour ce qui est d'ordonner le corps $\mathbb C$, on devrait avoir $+i>0$ ou $-i>0$. Passant au carré, cela donnerait $(+i)^2>0$ ou $(-i)^2>0$. Soit $-1>0$. Passant encore au carré, on aurait aussi $+1>0$. SSaVaPa ensemble, comme on dit.
Mettre de l'analyse là dedans, cela va être difficile !
Cordialement, Pierre.
Dans un cours d’algèbre la question et la réponse sont précises
Theoreme il n'existe pas de relation d'ordre totale dans $\C$ compatible avec sa structure de corps ordonné
Preuve definition 3.1.4 et tu fais l'exercice qui suit juste la definition http://www.logique.jussieu.fr/~point/papiers/Bac3-2014-2015.pdf
Maintenant imagine que tu es un prof chargé d'analyse et tu fais un cours sur les suites complexes, comment tu vas expliqué à tes étudiants que les complexes n'ont pas de signes pour ne jamais parler des suites complexes monotones, un prof d'analyse dira que cet ordre ne sera pas utile
Je comprendrais éventuellement qu'une chose soit qualifiée de "inutile" dans le sens où on peut ne pas s'en servir pour démontrer un résultat.
Ensuite, s'il est "inutile" de parler d'ordre pour des suites complexes, alors il est autant inutile d'en parler pour des suites réelles (puisqu'elles sont complexes). Tout ça pour dire "attention au mot utile".
Bon, @pldx1 répond de manière plus précise et concise que moi.
J'etais en train de trouver cela, un document modeste mais qui parle de l'ordre total sur $\mathbb C$ dans une remarque : http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/logique/complexes.pdf
À plus tard !