Régularité hölderienne
Bonjour,
Considérons $f \in \mathcal{C}^{0,\alpha}(\mathbb{R}^3)$ à support compact, et $G$ le noyau de Newton, comment montrer que $u := f * G \in \mathcal{C}^{2,\alpha}(\mathbb{R}^3)$ ?
Ici $0<\alpha<1$, $G$ est la fonction définit par $G(x)=\frac{c}{|x|}$, avec $c$ la constante telle que $-\Delta G = \delta_0$.
Bien sûr comme $G, \nabla G \in L^1_{\text{loc}}$ on montre facilement que $u \in \mathcal{C}^1$. Il reste donc à montrer que :
- $u$ est $\mathcal{C}^2$
- $u$ est même $\mathcal{C}^{2,\alpha}$
Y a-t-il une méthode assez simple ? Par exemple si on prend $i \neq j$ on calcule que $\partial ^2 _{ij}G = c \frac{x_ix_j}{|x|^5}$ qui n'est pas du tout $L^1_{\text{loc}}$ en $0$ et cela pose des problèmes ...
Des idées ?
Modification : $f=g$
Considérons $f \in \mathcal{C}^{0,\alpha}(\mathbb{R}^3)$ à support compact, et $G$ le noyau de Newton, comment montrer que $u := f * G \in \mathcal{C}^{2,\alpha}(\mathbb{R}^3)$ ?
Ici $0<\alpha<1$, $G$ est la fonction définit par $G(x)=\frac{c}{|x|}$, avec $c$ la constante telle que $-\Delta G = \delta_0$.
Bien sûr comme $G, \nabla G \in L^1_{\text{loc}}$ on montre facilement que $u \in \mathcal{C}^1$. Il reste donc à montrer que :
- $u$ est $\mathcal{C}^2$
- $u$ est même $\mathcal{C}^{2,\alpha}$
Y a-t-il une méthode assez simple ? Par exemple si on prend $i \neq j$ on calcule que $\partial ^2 _{ij}G = c \frac{x_ix_j}{|x|^5}$ qui n'est pas du tout $L^1_{\text{loc}}$ en $0$ et cela pose des problèmes ...
Des idées ?
Modification : $f=g$
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Réponses
En fait il y a bien une méthode mais qui utilise la structure de $G $, mais je cherche une méthode qui se generaliserait à toutes les equations elliptiques.
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