4 polynômes (Kontsevitch raconté par Ghys)

@ Sylvain : je ne suis pas sûr que ce soit une prétérition, c'en serait une si j'avais écrit "je ne vais pas parler de bla bla" pour finalement parler de "bla bla" ?
Mais j'ai écrit "Tout le monde ou presque connaît bla bla", où bla bla n'est pas connu de tout le monde.

@ tout le monde :

Bon, personne pour donner un avis sur ma démo ?

Pour celles et ceux qui n'ont pas envie de lire un pdf, je suis sympa, je résume mon procédé (pas tout quand même, juste la fin) :

Les inégalités sur les polynômes sont conservées si :

- On soustrait le même polynôme à chacun des polynômes, ou

- On établit que chaque polynôme est divisible par X², et on lui substitue le résultat de sa division par X².

Ceci permet d'enclencher une récurrence descendante (Fermat aurait-il dit une "descente infinie" ?) et d'arriver à une contradiction si on raisonne par l'absurde.
Si on fait porter la récurrence descendante sur la "valuation" des polynômes (degré du terme non nul de plus petit degré), et non pas leur degré, c'est plus "puissant", car cela permet de généraliser immédiatement le résultat aux quadruplets de fonctions de classe C infini vérifiant certaines conditions que vérifient les polynômes.

@ Lucas

Merci d'avoir lu ma preuve, compte tenu de ton avis je vais lire celle de Ghys et je te reviens (j'ai vraiment été prétentieux de ne pas avoir lu la preuve d'une telle sommité, mais je voulais vraiment y arriver tout seul, c'est comme la fois où j'ai voulu redémontrer Zorn, mais c'est une autre histoire).

Je voudrais néanmoins nuancer l'impression de complexité de ma preuve, avec 2 arguments :

- Je l'ai pas mal détaillée, aussi elle peut paraître lourde.

- Pour "preuve", je puis la résumer comme suit, avec des étapes qui s'enchaînent quand même très "naturellement" :

On raisonne par l'absurde.

1- Tout polynôme non nul est équivalent, et donc de même signe au voisinage de 0 que son monôme de plus bas degré (notion de valuation).

2- En vertu de 1- et des inégalités, les Pi - Pj n'ont aucun terme non nul de degré 0 ni de degré 1 (valuation >1)

3- En vertu de 2-, les Pi ont un même "composant" de degré <2.

4- En vertu de 3, les inégalités sont préservées en substituant aux Pi leurs "composants" respectifs Qi de degré > 1 (i.e. en leur soustrayant respectivement leurs composants de degré <2), qui sont respectivement de mêmes degrés que les Pi et divisibles par X².

5- En vertu de 4, les inégalités sont préservées en subsitutant aux Qi leurs quotients respectifs par X², qui sont de degrés respectifs strictement inférieurs aux degrés respectifs des Pi.

6- En vertu de 5-, on peut enclencher une récurrence descendante permettant de faire strictement diminuer le degré d'un des polynômes du quadruplet en le suivant à la trace (on peut aussi ordonner le quadruplet des degrés), d'où contradiction, cqfd.

N.B. : il y un bug à la fin de ma démonstration (voir pdf) , le procédé ne permet pas de faire diminuer les valuations mais les degrés et l'applicabilité aux fonctions C infini vérifiant certaines conditions me semble remise en cause !
Je vais regarder ça et corriger mon papier.

ERRATUM au N.B. : finalement, la récurrence descendante permet de faire décroître strictement les valuations des Pi - Pj, donc ça doit le faire quand même, tant mieux !

@Math Coss
Merci pour ce contre exemple.
En effet, la démonstration pour les polynômes ne permet pas de généraliser à tous les quadruplets de fonctions C infini, mais à ceux vérifiant certaines conditions, à savoir :
Pour i et j distincts dans {1,2,3,4}, le terme non nul de plus petit degré du développement en série entière de (Fi - Fj) est au voisinage de 0 un "petit o" (rien à voir avec l'X !) de la somme des autres termes.
Les quadruplets de polynômes vérifiant évidemment cette condition.

@All
Il y a une erreur à la fin de mon pdf : la récurrence descendante fait décroître les "valuations" des différences des polynômes pris deux à deux, et pas nécessairement les valuations des polynômes pris individuellement (ce qui n'invalide aucunement la conclusion du raisonnement par l'absurde, ni la généralisation à certaines fonctions C infini).
M. Ghys, que je me suis permis de contacter pour lui signaler ma démonstration, m'a très aimablement et rapidement répondu, dans un premier temps en jusgeant qu'elle était proche de la sienne car utilisant aussi les valuations, dans un second temps, après que j'eus attiré son attention sur la division par X² dans le procédé de récurrence descendante, en estimant qu'il s'agissait d'un procédé d'éclatement, procédé très présent d'après lui pour les courbes algébriques dans son livre qu'il me conseille de lire (A singular mathematical promenade).