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nombres réels

Envoyé par mustapha 
nombres réels
il y a deux années
Bonjour chers collègues, je suis bloqué sur cette question, merci de m'aider.

Soient $x_1,\ldots,x_N$ des réels strictement positifs et $\varepsilon$ dans l'intervalle ouvert $]0,1[$ tels que, pour tous $i,\,j \in \{1,2,\ldots,N\}$, on a $x_ix_j\leq \varepsilon ^{\vert i-j\vert}.$
Montrer que : $$\sum_{i=1}^N x_i \leq \frac{1}{1-\sqrt{\varepsilon}}$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: nombres réels
il y a deux années
avatar
bonsoir

je laisse de coté le cas N=1
vu comme ça je transformerai bien ta somme en produit

ça se manipule mieux

je ferai comme ça :

$0<\epsilon <1$ peut donc constituer une base de logarithme

l'exponentielle de base $\epsilon ^x$ est décroissante et strictement positive et inférieure ou égal à 1 pour tout x supérieur à 0

ici $|i-j|\geq 0$


pour tout $x_i.x_j$ alors lui aussi constitue une base de logarithme

l'exponentielle de base $(x_i.x_j )^x$ est décroissante et strictement positive et inférieure ou égal à 1 pour tout x supérieur à 0

le log en base $x_i.x_j$ est décroissante
nommons le $log_{x_ix_j}(x)$

en posant $log_{x_ix_j}(X_i)=x_i$
donc $(x_ix_j)^{x_i}=X_i$

$x_i+x_j=log_{x_ix_j}(X_i*X_j)$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: nombres réels
il y a deux années
Quitte à renuméroter, on peut supposer que $x_N$ est le plus grand de tous. D'après l'hypothèse, on a pour tout $i \in \{1,\dotsc,N\}$
$$x_i^2 \leqslant x_i x_N \leqslant \varepsilon^{N-i}$$
de sorte que
$$\sum_{i=1}^N x_i \leqslant \sum_{i=1}^N \varepsilon^{(N-i)/2} = \frac{1 - \varepsilon^{N/2}}{1-\sqrt{\varepsilon}} < \frac{1}{1-\sqrt{\varepsilon}}.$$
Re: nombres réels
il y a deux années
merci cher collègue
Re: nombres réels
il y a deux années
De rien.
Re: nombres réels
il y a deux années
@NoixDeTotos: je ne pense pas que l'on puisse renuméroter comme ça. Prend par exemple :

$\epsilon = \frac{1}{2}, x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 1, x_3 = \frac{1}{2} $

Si tu renumérotes $\tilde{x}_1 = \frac{1}{2}, \tilde{x}_2 = \frac{1}{2},\tilde{x}_3=1$ alors les réels ne vérifient plus l'inégalité : $\tilde{x}_1\tilde{x}_3 = \frac{1}{2} > \frac{1}{4} = \epsilon^{|3-1|}$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Tryss.
Re: nombres réels
il y a deux années
Exact. La solution précédente ne fonctionne que si l'indice $N$ est tel que $x_N = \max \left( x_i \right)$.

Sinon, en modifiant un peu la même méthode, on a l'inégalité légèrement moins bonne suivante : soit $M \in \{1,\dotsc,N\}$ tel que, pour tout $i \in \{1,\dotsc,N\}$, on ait $x_i \leqslant x_M$. Alors
$$x_i^2 \leqslant x_i x_M \leqslant \varepsilon^{\left | M - i \right |}$$
puis
$$\sum_{i=1}^N x_i \leqslant \sum_{i=1}^N \varepsilon^{\left | M - i \right |/2} = \frac{1+\varepsilon^{1/2} - \varepsilon^{M/2} - \varepsilon^{(N+1-M)/2}}{1-\varepsilon^{1/2}} < \frac{2}{1-\varepsilon^{1/2}}.$$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par noix de totos.
Re: nombres réels
il y a deux années
En effet, j'ai l'impression qu'avec l'idée de noix de toto on ne fait en fait qu'obtenir la majoration $\newcommand{\e}{\varepsilon}\frac{1+\sqrt{\e}}{1-\sqrt{e}}$ (on découpe la liste en deux au terme le plus grand).

Je pense qu'on peut arriver à la majoration $\frac{1+\e^2}{1-\e^2}$ (qui implique celle demandée). Si on considère que les $x_i$ sont indexés par $\Z$ au lieu, peut-être qu'on peut montrer que le pire des cas est obtenu avec $(\dots,\e^2,\e,1,\e,\e^2,\dots)$. J'arrive à m'en convaincre avec un dessin par la méthode suivante. Premièrement, on remplace les nombres par leurs logarithmes en base $\e$ comme le suggère fluorhydrique, les contraintes deviennent $x_i + x_j \geq |i-j|$, ce qui se réécrit $x_j \geq |j-i| - x_i$. La contrainte associée à $x_i$ se dessine par un translaté du graphe de la valeur absolue (on prend le symétrique de $(i,x_i)$ par rapport à l'axe des abscisses, c'est le sommet de la courbe).

Soit $a$ l'index tel que $|j-a|-x_a$ soit maximal lorsque $j$ tend vers l'infini. Cela revient à minimiser $x_a+a$. On fait pareil lorsque $j$ tend vers l'infini négatif, cela donne $b$ tel que $x_b-b$ est minimal. On suppose que ces index existent, de toute manière ça existe dans notre cas et on peut peut-être remplacer par l'infimum dans le cas général. Graphiquement, on voit que l'on doit avoir $b \leq a$.

On prend le point d'intersection des courbes associées à $x_a$ et $x_b$. On prend le graphe de la valeur absolue retourné (le graphe de $-|x|$) et on le déplace pour que son sommet se retrouve en ce point. Alors les contraintes qu'on a imposée sur $a$ et $b$ font que n'importe quel $(i,-x_i)$ doit être sous cette courbe. On prend donc le symétrique de cette courbe par rapport à l'axe des abscisses, cela donne un minorant aux $x_i$.

Les deux configurations minimales sont celle que j'ai donnée a début et $(\dots,\e^{3/2},\e^{1/2},\e^{1/2},\e^{3/2},\dots)$. Cela donne comme minorant le maximum de $\frac{1+\e^2}{1-\e^2}$ et $\frac{2\sqrt{\e}}{1-\e}$, on peut sans doute vérifier que c'est plus petit que la borne voulue.

Reste à rédiger proprement…

On peut aussi indexer par $\R$ au lieu de $\Z$ (et intégrer).



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Champ-Pot-Lion.
Re: nombres réels
il y a deux années
avatar
comme quoi bon ceci dit ma méthode donnée au deuxième post ici) est plus simple
de plus comme $0<1-\sqrt {\epsilon }<1$ lui aussi placé en produit avec la sommation peut devenir un facteur pour la base de mon log

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: nombres réels
il y a deux années
oui vous avez raison , j'ai pas fait attention au détail qu'on renumérotant on perd l'inégalité .
Ce que j’avais pensé est d'écrire $$\Big(\sum_{i=1}^N x_i\Big)^2=\sum_{i=1}^N x_i^2+2\sum_{i\neq j}x_i x_j
$$ Puis d'utiliser la majoration de l'énoncé , le problème est qu'on obtient une expression contenant $N$.
Je me demande que si on a pour tout $i,j,\ x_i x_j=\epsilon ^{\vert i-j \vert }$, la formule précédente va s'écrire $$\Big(\sum_{i=1}^N x_i\Big)^2=N+2\sum_{i\neq j}x_i x_j$$ ce qui ne peut pas garantir l'inégalité sauf s'il y a un lien entre $\epsilon$ et les $x_i$



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: nombres réels
il y a deux années
Voici une explication plus précise de ce que je disais plus haut. C'est plus court mais on ne comprend plus rien à ce qu'il se passe à mon avis.

Soit $\newcommand{\e}{\varepsilon}\e \in \left]0,1\right[$ et soit $x : \Z \to [0,1]$ tel que l'on ait toujours $x_i x_j \leq \e^{|i-j|}$. Soit $y_i := \log_{\e}(x_i)$. Alors $y_j + y_i \geq |i-j|$. Cela veut dire que $y_j + y_i \geq i-j$ et que $y_j + y_i \geq j-i$. Autrement dit, on a $y_j \geq -j + (i-y_i)$ et $y_j \geq j - (i + y_i)$.

Soit $a := \sup_{i \in \Z} -i-y_i$ et $b := \sup_{i \in \Z} i - y_i$. Alors on a $y_j \geq -j + a$ et $y_j \geq j + b$. De plus, par extrémalité (ce mot ne se dit pas ?) de $a$ et $b$, on a $-j-y_j \leq a$ et $j-y_j \leq b$.

En mettant tout ensemble, on obtient
\[ y_j \geq \max(-j+a, j+b, j-a, -j-b) = \max(|j-a|, |j+b|) \text{.} \]

Là je saute le calcul mais on obtient un truc de la forme $y_j \geq |j-\alpha| + \beta$ avec $\beta \geq 0$. On en déduit que $y_j \geq |j-\alpha|$ avec un certain $\alpha$ qui est soit entier, soit demi-entier. Les deux pires des cas sont donc $(\dots,\e^2,\e,1,\e,\e^2,\dots)$ (quand $\alpha$ est entier) et $(\dots,\e^{3/2},\e^{1/2},\e^{1/2},\e^{3/2},\dots)$ (quand $\alpha$ est demi-entier). Dans le premier cas, on trouve comme somme $\frac{1+\e^2}{1-\e^2}$ et dans le deuxième on trouve $\frac{2\sqrt{\e}}{1-\e}$. Les deux sont inférieurs ou égaux à $\frac{1}{1-\sqrt{\e}}$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Champ-Pot-Lion.
Re: nombres réels
il y a deux années
avatar
C'est amusant, on peut montrer que $\sum_{i=1}^n x_i \leq \sum_{i=1}^n \epsilon^{(i-1)/2}$ en raisonnant par récurrence sur $n$ : en effet $x_1x_n \leq \epsilon^{n-1}$ donc $x_1 \leq \epsilon^{(n-1)/2}$ ou $x_n \leq \epsilon^{(n-1)/2}$. Dans le premier cas on applique l'hypothèse de récurrence à $(x_2,\dots,x_n)$ et dans le deuxième cas à $(x_1,\dots,x_{n-1})$.
Re: nombres réels
il y a deux années
Trop simple !
Re: nombres réels
il y a deux années
Re: nombres réels
il y a deux années
avatar
J'aime bien tes problèmes mustapha (il y avait aussi celui-là qui m'avait intéressé), d'où viennent-ils ?
Pour ceux qui connaissent, ils me font un peu penser à ceux de pourexemple qui a quitté le forum.

P.S. Désolé Champ-Pot-Lion, j'ai cherché plus compliqué mais je n'ai pas trouvé.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Siméon.
Re: nombres réels
il y a deux années
cet exercice a été extrait d'un TD de Mr Gianella ( site : [mpsi3.llg.free.fr] ) quand il était en mpsi3 à LLG , j'ai mis l'exo sur ma liste d'exercices en mpsi où j'enseigne, et j'ai trouvé l'exos difficile.
Re: nombres réels
il y a deux années
@Siméon Ma consolation pour avoir fait un truc plus compliqué c'est d'avoir la borne optimale $\max\left(\frac{1+\e^2}{1-\e^2}, \frac{2\sqrt{\e}}{1-\e}\right)$.
Re: nombres réels
il y a deux années
avatar
Merci mustapha pour la référence. Joli résultat Champ-Pot-Lion !
Re: nombres réels
il y a deux années
avatar
Merci S pour le lien [www.les-mathematiques.net]. Je ne crois pas que c’était moi dans ce fil grinning smiley

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Dom
Re: nombres réels
il y a deux années
Ha !
J'avais finalement trouvé "ma" preuve par l'absurde, ça remonte !!!
Re: nombres réels
il y a deux années
merci de partager ton raisonnement par l'absurde
Dom
Re: nombres réels
il y a deux années
Je regarde ça tantôt...
Re: nombres réels
il y a deux années
Bien vu, Siméon et Champ-Pot-Lion !

Quant à moi, j'ai viré mon second cas qui n'avait aucune importance.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par noix de totos.
Re: nombres réels
il y a deux années
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