Équation fonctionnelle
Soit $x>0$ et $f(x)$ une fonction continue strictement croissante et monotone tel que $f(x)-x\geq m$ avec $m$ un nombre réel et $$x+\frac{1}{x}\leq f(x)+f(\frac{1}{x})$$
Prouvez que nous avons :
$$f(x)f(\frac{1}{x})\geq 1 \quad \forall x>0$$
Ps:elle n'est pas de moi inutile de chercher un contre-exemple .
Prouvez que nous avons :
$$f(x)f(\frac{1}{x})\geq 1 \quad \forall x>0$$
Ps:elle n'est pas de moi inutile de chercher un contre-exemple .
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Réponses
Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante telle que $\displaystyle \forall x>0, f(x) -x \geq m$ pour un certain $\displaystyle m \in \R$, et $\displaystyle \forall x>0, x+{1 \over x} \leq f(x) +f({1 \over x})$. Montrer que $\displaystyle \forall x>0, f(x)f({1 \over x}) \geq 1.$
Cas $m \geq 0$ :
On sait que $\displaystyle \forall x>0, f(x) -x \geq 0$ et donc que $\displaystyle \forall x>0, f(x) \geq x>0.$ Cette relation est aussi $\displaystyle \forall x>0, f({1 \over x}) \geq {1 \over x}>0.$ On a donc $\displaystyle \forall x>0, f(x) f({1 \over x}) \geq x{1 \over x} = 1.$
Cas $m <0$ :
en cours de rédaction... ;-)