Équation fonctionnelle

Bloy.noel · October 2017

Soit $x>0$ et $f(x)$ une fonction continue strictement croissante et monotone tel que $f(x)-x\geq m$ avec $m$ un nombre réel et $$x+\frac{1}{x}\leq f(x)+f(\frac{1}{x})$$

Prouvez que nous avons :
$$f(x)f(\frac{1}{x})\geq 1 \quad \forall x>0$$

Ps:elle n'est pas de moi inutile de chercher un contre-exemple .

Poirot · October 2017

Qu'est-ce qu'une fonction strictement croissante et monotone a de plus qu'une fonction strictement croissante ?

Tonm · November 2017

que dire de $ f(5)=5.1$ et $f(0.2)=0.1$

Bloy.noel · November 2017

@Tonm relis une fonction à tes deux valeurs et tu auras un contre-exemple parfait !

YvesM · November 2017

Bonjour,

Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante telle que $\displaystyle \forall x>0, f(x) -x \geq m$ pour un certain $\displaystyle m \in \R$, et $\displaystyle \forall x>0, x+{1 \over x} \leq f(x) +f({1 \over x})$. Montrer que $\displaystyle \forall x>0, f(x)f({1 \over x}) \geq 1.$

Cas $m \geq 0$ :
On sait que $\displaystyle \forall x>0, f(x) -x \geq 0$ et donc que $\displaystyle \forall x>0, f(x) \geq x>0.$ Cette relation est aussi $\displaystyle \forall x>0, f({1 \over x}) \geq {1 \over x}>0.$ On a donc $\displaystyle \forall x>0, f(x) f({1 \over x}) \geq x{1 \over x} = 1.$

Cas $m <0$ :
en cours de rédaction... ;-)

gebrane · November 2017

Si la question n'est pas de toi, elle est de qui?

Équation fonctionnelle

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Bonjour!

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