Un développement asymptotique

Joaopa · October 2017

Soit $q$ un réel strictement supérieur à $1$, $\theta$ un réel strictement supérieur à $1$. Je cherche un développement asymptotique (quand $n\to+\infty$) de $\displaystyle\sum_{j=0}^n\log|x-q^j|$ avec $x\in\mathbb C$ tel que $|x|=q^{\theta n}$. Je subodore que le premier terme est $\theta\log(q)n^2$. Je n'arrive pas à le montrer et je n'arrive pas à trouver le deuxième terme.

Si quelqu'un a une idée, merci d'avance pour partager vos idées...

Siméon · October 2017

Tu peux commencer par écrire ceci sous la forme $\displaystyle\theta \log(q) n(n+1) + \sum_{j=0}^n \log \left|1 - \frac{e^{it}}{q^{\theta n -j}}\right|$

gebrane · October 2017

Je vois plutôt
$\displaystyle\sum_{j=0}^n\log|x-q^j|=\theta \log(q) n(n+1) + \sum_{j=0}^n \log \left|1 - \frac{1}{q^{\theta n -j}}\right|$

Siméon · October 2017

@gebrane0 : il y a bien une phase en général car $x$ n'est pas nécessairement un réel positif : j'ai pris $t$ réel tel que $x = q^{\theta n}e^{-it}$.

Tant que j'y suis, je complète. À partir de cette forme, on peut utiliser le développement $\log(|1-r e^{it}|) = - r \cos(t) + O(r^2)$ valable pour $r \to 0$, voire même aller plus loin si cela nous chante. Je ne serais pas étonné si Chaurien venait nous proposer une rédaction complète.

Chaurien · October 2017

C'est sympa d'avoir des copains qui vous connaissent mais là je dois sortir profiter des derniers rayons du soleil automnal.
Et il y a sur ce forum des pointures qui n'attendent pas après moi.
Bonne journée.
Fr. Ch.

gebrane · October 2017

Moi aussi j'attends une rédaction de Chaurien, j'adore ses développements.

Un développement asymptotique

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 14