nature d'une intégrale
Bonjour,
je cherche la nature en +oo de l'intégrale de la fonction : cos (ln(x)) ( et par conséquent sin(ln(x)) )
Je suis quasiment sûr qu'elle diverge (vu que l'intégrale de cos(x) diverge !) mais depuis que je sais que l' intégrale de cos(x²) converge, j'ai des inquiétudes...!
Merci.
PS pour info j'en ai besoin pour déterminer la nature de l'intégrale + oo de la fonction complexe 1/xi.
je cherche la nature en +oo de l'intégrale de la fonction : cos (ln(x)) ( et par conséquent sin(ln(x)) )
Je suis quasiment sûr qu'elle diverge (vu que l'intégrale de cos(x) diverge !) mais depuis que je sais que l' intégrale de cos(x²) converge, j'ai des inquiétudes...!
Merci.
PS pour info j'en ai besoin pour déterminer la nature de l'intégrale + oo de la fonction complexe 1/xi.
Réponses
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Regarde la taille des intervalles où $\cos(\ln(x))\geq 1/2$, par exemple.
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Ça diverge, par exemple parce que la série de terme général
\[\int_{\exp(\frac\pi2+k\pi)}^{\exp(\frac\pi2+(k+1)\pi)}\left\vert\cos\ln x\right\vert\mathrm{d}x\]
diverge grossièrement. -
Tu peux faire le changement de variable $y=\ln x$
J'imagine qu'on peut minorer $\cos(x)$ quand $x>0$ par un polynôme.
(édit: pas si sur que cela soit vrai pour tout x>0, c'est probablement faux). -
Pour une fois, on peut aussi faire un calcul explicite : pour tout réel $a > 0$,
$$
\int_1^a \cos(\ln(x))\,dx + i \int_1^a \sin(\ln(x))\,dx = \int_1^a x^i dx = \frac{a^{i+1}-1}{i+1} = \frac{\sqrt 2}2e^{-i\pi/4}\left(a^{i+1}-1\right).
$$ -
C'est une primitive élémentaire.
-
Si tu considères le module de $a^{i+1}$, que peux-tu dire de la convergence/divergence ?
-
ai+1= ai*a, donc ça diverge.
-
Il faudrait le rédiger plus précisément.
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Bonjour!
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