nature d'une intégrale

totem · November 2017

Bonjour,

je cherche la nature en +oo de l'intégrale de la fonction : cos (ln(x)) ( et par conséquent sin(ln(x)) )

Je suis quasiment sûr qu'elle diverge (vu que l'intégrale de cos(x) diverge !) mais depuis que je sais que l' intégrale de cos(x²) converge, j'ai des inquiétudes...!

Merci.

PS pour info j'en ai besoin pour déterminer la nature de l'intégrale + oo de la fonction complexe 1/xⁱ.

GaBuZoMeu · November 2017

Regarde la taille des intervalles où $\cos(\ln(x))\geq 1/2$, par exemple.

Math Coss · November 2017

Ça diverge, par exemple parce que la série de terme général
\[\int_{\exp(\frac\pi2+k\pi)}^{\exp(\frac\pi2+(k+1)\pi)}\left\vert\cos\ln x\right\vert\mathrm{d}x\]
diverge grossièrement.

Fin de partie · November 2017

Tu peux faire le changement de variable $y=\ln x$
J'imagine qu'on peut minorer $\cos(x)$ quand $x>0$ par un polynôme.
(édit: pas si sur que cela soit vrai pour tout x>0, c'est probablement faux).

Siméon · November 2017

Pour une fois, on peut aussi faire un calcul explicite : pour tout réel $a > 0$,
$$
\int_1^a \cos(\ln(x))\,dx + i \int_1^a \sin(\ln(x))\,dx = \int_1^a x^i dx = \frac{a^{i+1}-1}{i+1} = \frac{\sqrt 2}2e^{-i\pi/4}\left(a^{i+1}-1\right).
$$

Chaurien · November 2017

C'est une primitive élémentaire.

totem · November 2017

Oui merci à tous.
@Simeon : oui c'est pour ça que j'ai besoin de la nature des intégrales...et quand a tend vers l'infini l'expression a-t-elle une limite ?
comme ça je dirais que ça oscille...ça sent le périodique avec i .Mais fois a ça diverge.