Fonction continue sur un segment t.q f(x) < x
Bonjour, je suis en maths spé et je bloque en ce moment sur un exercice issu d'un TD sur le chapitre Espace vectoriels normés.
L'énoncé est le suivant :
Soit $(a, b)$ deux réels strictements positifs et $f$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$.
On suppose que : $\forall x \in [a,b], f(x) < x$.
Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $]{-}\infty, 1[$ tel que: $\forall x \in [a,b], f(x) \leq \lambda x$.
Ce que j'ai tenté de faire ? $f$ étant continue sur un segment, elle y est bornée donc $\exists M, \forall x \in [a,b], |f(x)| \leq M$. Bon ok... mais je ne vois pas quoi faire de ça ni comment montrer l'existence d'un tel $\lambda$.
J'apprécierais beaucoup d'avoir un peu d'aide !
L'énoncé est le suivant :
Soit $(a, b)$ deux réels strictements positifs et $f$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$.
On suppose que : $\forall x \in [a,b], f(x) < x$.
Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $]{-}\infty, 1[$ tel que: $\forall x \in [a,b], f(x) \leq \lambda x$.
Ce que j'ai tenté de faire ? $f$ étant continue sur un segment, elle y est bornée donc $\exists M, \forall x \in [a,b], |f(x)| \leq M$. Bon ok... mais je ne vois pas quoi faire de ça ni comment montrer l'existence d'un tel $\lambda$.
J'apprécierais beaucoup d'avoir un peu d'aide !
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Réponses
Comme a et b sont strictement positifs, il n'est pas interdit d'examiner la fonction $g : x\mapsto \frac{f(x)} x$
Cordialement.
Edit : grillé par gerard0 !
Comme $a$ et $b$ sont strictement positifs, $g : x\mapsto \frac{f(x)} x$ est continue sur $[a,b]$ donc elle y est majorée par un réel $\lambda$ strictement inférieur à 1.
(g atteint ce maximum en un réel $c \in [a,b]$, donc : $\forall x \in [a,b], \frac{f(x)} x \leq g(c) = \lambda$) : inutile.
Ainsi : $\forall x \in [a,b], f(x) \leq \lambda x$ (car $[a,b] \subset \mathbb{R}_{+}$) et $\lambda$ appartient à $]{-}\infty, 1[$.
Est-ce juste ?
L'usage (non obligatoire, et même surtout pas obligatoire !) est de dire "on pose $\lambda = ...$.[/small]