Fonction continue sur un segment t.q f(x) < x

Styxx · November 2017

Bonjour, je suis en maths spé et je bloque en ce moment sur un exercice issu d'un TD sur le chapitre Espace vectoriels normés.

L'énoncé est le suivant :
Soit $(a, b)$ deux réels strictements positifs et $f$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$.
On suppose que : $\forall x \in [a,b], f(x) < x$.
Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $]{-}\infty, 1[$ tel que: $\forall x \in [a,b], f(x) \leq \lambda x$.

Ce que j'ai tenté de faire ? $f$ étant continue sur un segment, elle y est bornée donc $\exists M, \forall x \in [a,b], |f(x)| \leq M$. Bon ok... mais je ne vois pas quoi faire de ça ni comment montrer l'existence d'un tel $\lambda$.

J'apprécierais beaucoup d'avoir un peu d'aide !

gerard0 · November 2017

Bonjour.

Comme a et b sont strictement positifs, il n'est pas interdit d'examiner la fonction $g : x\mapsto \frac{f(x)} x$

Cordialement.

Siméon · November 2017

Ne serait-pas plutôt $x\mapsto f(x)/x$ qu'il s'agit de borner ici ?

Edit : grillé par gerard0 !

Poirot · November 2017

Ça illustre un principe très utile : si tu as une inégalité stricte faisant intervenir des fonctions valable sur un compact (ici un segment), tu as en fait un peu mieux que ça !

Styxx · November 2017

Bonjour, merci à vous deux pour l'indication. Voilà la solution que je propose :

Comme $a$ et $b$ sont strictement positifs, $g : x\mapsto \frac{f(x)} x$ est continue sur $[a,b]$ donc elle y est majorée par un réel $\lambda$ strictement inférieur à 1.
(g atteint ce maximum en un réel $c \in [a,b]$, donc : $\forall x \in [a,b], \frac{f(x)} x \leq g(c) = \lambda$) : inutile.

Ainsi : $\forall x \in [a,b], f(x) \leq \lambda x$ (car $[a,b] \subset \mathbb{R}_{+}$) et $\lambda$ appartient à $]{-}\infty, 1[$.

Poirot · November 2017

Tu n'as pas justifié pourquoi $g$ était majorée par un réel strictement inférieur à $1$.

Styxx · November 2017

$g$ est continue sur $[a,b]$ donc elle y est bornée par un réel $\lambda$ et comme $g < 1$, on en déduit que $\lambda < 1.$

Est-ce juste ?

Poirot · November 2017

Il manque un argument. Une fonction continue majorée $h$ telle que $h(x) < 1$ pour tout $x$ dans son ensemble de définition ne vérifie pas forcément $h(x) < m$ avec $m < 1$.

Styxx · November 2017

Effectivement je crois qu'il me manque ceci : $\lambda$ est atteint par $g$ en un réel $c \in [a,b]$ (car $g$ est continue sur un segment). Alors $\forall x \in [a,b], g(x) \leq g(c) < 1$ et comme $g(c)= \lambda$, on en déduit que $\lambda < 1$.

Poirot · November 2017

C'est ça, mais du coup pas besoin d'introduire la notation $\lambda$. $g$ est continue sur $[a, b]$ donc y atteint son maximum en un point $c$. On a donc $g(x) \leq g(c)$ pour $x \in [a, b]$, et par hypothèse, $g(c) < 1$.

Styxx · November 2017

D'accord, merci

Dom · November 2017

[small]Remarque : la notation $\lambda$ vient de l'énoncé.
L'usage (non obligatoire, et même surtout pas obligatoire !) est de dire "on pose $\lambda = ...$.[/small]

Fonction continue sur un segment t.q f(x) < x

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