Bonjour $$\sum_{k>0}\frac{\cos(k^2)}{k}$$ Après plusieurs tests numériques il me semble qu'elle converge.
Comment prouver ?
Mon idée était de majorer $s(n)=\sum_{k=1}^{n}\cos(k^2)$ puis transformation d'Abel.
Soit $\displaystyle N \in \N, N \geq 1$, $\displaystyle S_N = \sum_{k=1}^{N} \cos(k^2)$ et $\displaystyle T_N = \sum_{k=1}^{N} e^{ik^2}.$
Montrer que $\displaystyle S_N = \sum_{k=1}^{N} {\cos(k^2) \over k} = {S_N \over N} + \sum_{k=1}^{N-1} {S_k \over k(k+1)}.$
Montrer que si $\displaystyle S_N=O(\sqrt{N \ln N}), (N \to +\infty)$, alors $\displaystyle \sum_{k=1}^{N} {\cos(k^2) \over k} $ converge.
Montrer que $\displaystyle |T_N|^2 = N + \sum_{m=1}^{N-1} e^{im^2} \sum_{l=1}^{N-m} e^{2ilm} + \sum_{m=1}^{N-1} e^{-im^2} \sum_{l=1}^{N-m} e^{-2ilm} $. On pourra commencer par scinder la somme en trois contributions selon que les indices sont égaux ou l'un supérieur à l'autre.
Montrer que $\displaystyle |T_N|^2 \leq N+C \sum_{m=1}^{N-1} {1 \over |\sin m|}$ pour une constante $C.$
Quelles sont les hypothèses pour affirmer qu'il existe deux entiers $p,q$ premier entre-eux tels que $\displaystyle |{1 \over \pi} - {p \over q}| < {1 \over 2qN}$ avec $\displaystyle q < 2N$ ? Montrer que $\displaystyle {1 \over |\sin m|} < {2N \over m}, m \geq 1.$
Montrer que $\displaystyle |T_N|^2 = O(N \ln N).$
Conclure.
Montrer que $\displaystyle |T_N|^2 = N + \sum_{m=1}^{N-1} e^{im^2} \sum_{l=1}^{N-m}
e^{2ilm} + \sum_{m=1}^{N-1} e^{-im^2} \sum_{l=1}^{N-m} e^{-2ilm} $.
On pourra commencer par scinder la somme en trois contributions selon que les indices sont égaux ou l'un supérieur à l'autre.
Montrer que $\displaystyle |T_N|^2 \leq N+C \sum_{m=1}^{N-1} {1 \over |\sin m|}$ pour une constante $C.$
YvesM, je ne comprends pas ta dernière étape. Affirmes-tu que $\dfrac{1}{|\sin(m)|} < \dfrac{2N}{m}$ pour tous les entiers $N$ et $m$ tels que $1 \leq m \leq N-1$ ?
@Siméon : il faut que je regarde de plus près... le facteur $C$ absorbe les préfacteurs ; j'ai sans doute mal rédigé : je voulais dire qu'on peut majorer la somme avec les sinus dans l'inégalité... Je révise les critères d'irrationnalité (avec Wikipedia) et j'essaie de rédiger proprement.
Sans le savoir (apparemment), YvesM a refait la démonstration de la borne de Weyl pour les sommes d'exponentielles de polynômes du second degré, dont le résultat est le suivant :
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ tel qu'il existe $a,q \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ tels que $(a,q)=1$ et $\left | \alpha - \dfrac{a}{q} \right | \leqslant \dfrac{1}{q^2}$. Alors, pour tous $\beta, \gamma \in \mathbb{R}$
$$\sum_{n=1}^N e \left( \alpha n^2 + \beta n + \gamma \right) \ll N q^{-1/2} + \left( N \log q \right)^{1/2} + \left( q \log q \right)^{1/2}$$ où, comme d'habitude en théorie des nombres, on note $e(x) = e^{2 i \pi x}$.
Ici, $\alpha = (2 \pi)^{-1}$ (et $\beta = \gamma = 0$). Ainsi, pour que sa majoration en $(N \log N)^{1/2}$ puisse être réalisée, il est nécessaire qu'YvesM puisse justifier le fait qu'il existe $q \asymp N$ tel que $\left | \dfrac{1}{2 \pi} - \dfrac{a}{q} \right | \leqslant \dfrac{1}{q^2}$.
Il faut alors faire appel au théorème d'approximation de Dirichlet. Celui-ci stipule que, pour $N \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ fixé, il existe $(a,q)=1$ tels que $1 \leqslant q \leqslant N$ et $\left | \dfrac{1}{2 \pi} - \dfrac{a}{q} \right | \leqslant \dfrac{1}{qN} \leqslant \dfrac{1}{q^2} $.
Edit. Gebrane a mis un renvoi que je n'avais pas vu, mais qui dit grosso modo la même chose que moi.
Edit 2. Merci à Gebrane pour avoir relevé une coquille (corrigée).
@noix de toto
Une coquille à corriger dans (Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ tel qu'il existe $a,b \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ tels que $(a,b)=1$ et $\left | \alpha - \dfrac{a}{q} \right | \leqslant \dfrac{1}{q^2}$)
Ce n'est pas si étonnant puisque les variations de $k \mapsto \cos(k^2)$ sont liées aux approximations des multiples de $\pi$ par des carrés d'entiers !
@Gebrane : il s'agit bien sûr de la théorie analytique des nombres.
Je ne vais pas faire un cours ici, mais l'estimation de sommes d'exponentielles est une branche fondamentale dans cette discipline, car de nombreux problèmes arithmétiques se ramènent à ce type de sommes.
Exemple. Le problème des diviseurs de Dirichlet consiste en l'obtention du terme d'erreur $\Delta(x)$ le plus petit possible dans l'égalité asymptotique de la somme $\sum_{n \leqslant x} \tau(n)$, où $\tau$ est l'usuelle fonction de Diviseurs. Depuis Dirichlet (vers 1850), on sait que
$$\Delta(x) = - 2 \sum_{n \leqslant x} \psi \left( \tfrac{x}{n} \right) + O(1)$$
où $\psi(x) = x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2}$ est la $1$ère fonction de Bernoulli. Comme celle-ci est impaire et $1$-périodique, elle possède un développement en série de Fourier. La convergence n'étant pas uniforme, on a recours à des sommes de Fourier tronquées. En particulier, l'outil fondamental est l'inégalité suivante : pour tous entiers $H,N \geqslant 1$ et toute fonction réelle $f : \left [N ,2N\right] \longrightarrow \mathbb{R}$
$$\sum_{N < n \leqslant 2N} \psi(f(n)) \ll \frac{N}{H} + \sum_{h \leqslant H} \frac{1}{h} \left | \sum_{N < n \leqslant 2N} e \left( hf(n) \right) \right |$$
avec $e(x) := e^{2 i \pi x}$. Ainsi, le terme d'erreur $\Delta(x)$ s'estime à partir de sommes d'exponentielles.
Au début du $20$ème siècle, trois écoles essentielles ont développé des outils pour établir ce genre d'estimation : Weyl, van der Corput et Vinogradov.
Chacun de ces outils est utile selon les différents problèmes rencontrés.
@gebrane Tu peux lire "Additive Number Theory" de Melvyn. B. Nathanson pour les estimées de Weyl-Hua (majoration de sommes d'exponentielles) appliquée aux problèmes de Waring et de Goldbach.
Lire "Sieve methods" de H. Halberstam and H-E Richert pour l'utilisation des cribles combinatoires et du Grand crible à des problèmes de recherche d'infinités de nombres premiers (ou de nombres faiblement composés) dans des motifs particuliers.
Et pour finir, une revue (presque) complète (il y manque la méthode du cercle) des méthodes de théorie analytiques des nombres dans le livre de G. Tenenbaum "Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres"
Ou sinon, si tu préfères une approche plus active, tu peux trouver les quelques épreuves d'entrées aux ENS (dont j'ai oublié les dates...) qui démontrent
1) Le théorème d'équirépartition de A. Weyl par la méthode de Van Der Corput (sujet de l'an passé)... C'est le sujet du thread...
2) le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet de manière élémentaire.
3) en théorie additive inverse des nombres : le théorème de Rusza-Chang et l'introduction aux méthodes probabilistes des nombres initiées par T. Tao.
4) la loi de réciprocité quadratique sans faire appel explicitement à la théorie des corps finis.
5) une caractérisation des nombres de Pisot et une application aux ensembles d'unicité (non-unicité en fait ^^) des séries de Fourier.
Réponses
Mazette !
Soit $\displaystyle N \in \N, N \geq 1$, $\displaystyle S_N = \sum_{k=1}^{N} \cos(k^2)$ et $\displaystyle T_N = \sum_{k=1}^{N} e^{ik^2}.$
Montrer que $\displaystyle S_N = \sum_{k=1}^{N} {\cos(k^2) \over k} = {S_N \over N} + \sum_{k=1}^{N-1} {S_k \over k(k+1)}.$
Montrer que si $\displaystyle S_N=O(\sqrt{N \ln N}), (N \to +\infty)$, alors $\displaystyle \sum_{k=1}^{N} {\cos(k^2) \over k} $ converge.
Montrer que $\displaystyle |T_N|^2 = N + \sum_{m=1}^{N-1} e^{im^2} \sum_{l=1}^{N-m} e^{2ilm} + \sum_{m=1}^{N-1} e^{-im^2} \sum_{l=1}^{N-m} e^{-2ilm} $. On pourra commencer par scinder la somme en trois contributions selon que les indices sont égaux ou l'un supérieur à l'autre.
Montrer que $\displaystyle |T_N|^2 \leq N+C \sum_{m=1}^{N-1} {1 \over |\sin m|}$ pour une constante $C.$
Quelles sont les hypothèses pour affirmer qu'il existe deux entiers $p,q$ premier entre-eux tels que $\displaystyle |{1 \over \pi} - {p \over q}| < {1 \over 2qN}$ avec $\displaystyle q < 2N$ ? Montrer que $\displaystyle {1 \over |\sin m|} < {2N \over m}, m \geq 1.$
Montrer que $\displaystyle |T_N|^2 = O(N \ln N).$
Conclure.
Peux-tu poster les détails
Merci
@etanche : c'est très long à écrire...
$\displaystyle T_N = \sum_{k=1}^{N}e^{ik^2}$
$\displaystyle |T_N|^2 = \sum_{k=1}^{N} \sum_{l=1}^{N} e^{i(k^2-l^2)} = $
$\displaystyle = N + \sum_{1 \leq k < l\leq N} e^{i(k^2-l^2)} + \sum_{1 \leq l < k \leq N} e^{i(k^2-l^2)} =$
$\displaystyle =N + \sum_{l=1}^{N-1} \sum_{m=1}^{N-l} e^{i((l+m)^2-l^2)} + \sum_{k=1}^{N-1} \sum_{m=1}^{N-k} e^{i(k^2 - (k+m)^2)} $
$\displaystyle =N + \sum_{l=1}^{N-1} \sum_{m=1}^{N-l} e^{i(2lm + m^2)} + \sum_{l=1}^{N-1} \sum_{m=1}^{N-k} e^{-i(2km + m^2)} $
$\displaystyle =N + \sum_{m=1}^{N-1} e^{i m^2} \sum_{l=1}^{N-m} e^{i2lm} + \sum_{m=1}^{N-1} e^{-i m^2} \sum_{l=1}^{N-m}e^{-i2lm} .$
@Siméon : il faut que je regarde de plus près... le facteur $C$ absorbe les préfacteurs ; j'ai sans doute mal rédigé : je voulais dire qu'on peut majorer la somme avec les sinus dans l'inégalité... Je révise les critères d'irrationnalité (avec Wikipedia) et j'essaie de rédiger proprement.
Sans le savoir (apparemment), YvesM a refait la démonstration de la borne de Weyl pour les sommes d'exponentielles de polynômes du second degré, dont le résultat est le suivant :
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ tel qu'il existe $a,q \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ tels que $(a,q)=1$ et $\left | \alpha - \dfrac{a}{q} \right | \leqslant \dfrac{1}{q^2}$. Alors, pour tous $\beta, \gamma \in \mathbb{R}$
$$\sum_{n=1}^N e \left( \alpha n^2 + \beta n + \gamma \right) \ll N q^{-1/2} + \left( N \log q \right)^{1/2} + \left( q \log q \right)^{1/2}$$
où, comme d'habitude en théorie des nombres, on note $e(x) = e^{2 i \pi x}$.
Ici, $\alpha = (2 \pi)^{-1}$ (et $\beta = \gamma = 0$). Ainsi, pour que sa majoration en $(N \log N)^{1/2}$ puisse être réalisée, il est nécessaire qu'YvesM puisse justifier le fait qu'il existe $q \asymp N$ tel que $\left | \dfrac{1}{2 \pi} - \dfrac{a}{q} \right | \leqslant \dfrac{1}{q^2}$.
Il faut alors faire appel au théorème d'approximation de Dirichlet. Celui-ci stipule que, pour $N \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ fixé, il existe $(a,q)=1$ tels que $1 \leqslant q \leqslant N$ et $\left | \dfrac{1}{2 \pi} - \dfrac{a}{q} \right | \leqslant \dfrac{1}{qN} \leqslant \dfrac{1}{q^2} $.
Edit. Gebrane a mis un renvoi que je n'avais pas vu, mais qui dit grosso modo la même chose que moi.
Edit 2. Merci à Gebrane pour avoir relevé une coquille (corrigée).
Une coquille à corriger dans (Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ tel qu'il existe $a,b \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ tels que $(a,b)=1$ et $\left | \alpha - \dfrac{a}{q} \right | \leqslant \dfrac{1}{q^2}$)
Reprenons : avec la borne $\sum_{k \leqslant t} e^{ik^2} \ll (t \log et)^{1/2}$ valide pour tout $t \geqslant 1$, on a
$$\sum_{k \leqslant N} \frac{e^{ik^2}}{k} = \frac{1}{N} \sum_{k \leqslant N} e^{ik^2} + \int_1^N \frac{1}{t^2} \left( \sum_{k \leqslant t} e^{ik^2} \right) \mathrm{d}t \ll \frac{(N \log eN)^{1/2}}{N} + \int_1^N \frac{( t \log et)^{1/2}}{t^2} \textrm{d}t \ll 1$$
ce qui assure la convergence de la série.
Je ne vais pas faire un cours ici, mais l'estimation de sommes d'exponentielles est une branche fondamentale dans cette discipline, car de nombreux problèmes arithmétiques se ramènent à ce type de sommes.
Exemple. Le problème des diviseurs de Dirichlet consiste en l'obtention du terme d'erreur $\Delta(x)$ le plus petit possible dans l'égalité asymptotique de la somme $\sum_{n \leqslant x} \tau(n)$, où $\tau$ est l'usuelle fonction de Diviseurs. Depuis Dirichlet (vers 1850), on sait que
$$\Delta(x) = - 2 \sum_{n \leqslant x} \psi \left( \tfrac{x}{n} \right) + O(1)$$
où $\psi(x) = x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2}$ est la $1$ère fonction de Bernoulli. Comme celle-ci est impaire et $1$-périodique, elle possède un développement en série de Fourier. La convergence n'étant pas uniforme, on a recours à des sommes de Fourier tronquées. En particulier, l'outil fondamental est l'inégalité suivante : pour tous entiers $H,N \geqslant 1$ et toute fonction réelle $f : \left [N ,2N\right] \longrightarrow \mathbb{R}$
$$\sum_{N < n \leqslant 2N} \psi(f(n)) \ll \frac{N}{H} + \sum_{h \leqslant H} \frac{1}{h} \left | \sum_{N < n \leqslant 2N} e \left( hf(n) \right) \right |$$
avec $e(x) := e^{2 i \pi x}$. Ainsi, le terme d'erreur $\Delta(x)$ s'estime à partir de sommes d'exponentielles.
Au début du $20$ème siècle, trois écoles essentielles ont développé des outils pour établir ce genre d'estimation : Weyl, van der Corput et Vinogradov.
Chacun de ces outils est utile selon les différents problèmes rencontrés.
J'espère ne pas avoir pollué le fil d'Etanche !
As-tu un bon pdf pour m'initier sur la théorie des nombres?
( gebrane0 s'est converti en gebrane)
Lire "Sieve methods" de H. Halberstam and H-E Richert pour l'utilisation des cribles combinatoires et du Grand crible à des problèmes de recherche d'infinités de nombres premiers (ou de nombres faiblement composés) dans des motifs particuliers.
Et pour finir, une revue (presque) complète (il y manque la méthode du cercle) des méthodes de théorie analytiques des nombres dans le livre de G. Tenenbaum "Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres"
Ou sinon, si tu préfères une approche plus active, tu peux trouver les quelques épreuves d'entrées aux ENS (dont j'ai oublié les dates...) qui démontrent
1) Le théorème d'équirépartition de A. Weyl par la méthode de Van Der Corput (sujet de l'an passé)... C'est le sujet du thread...
2) le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet de manière élémentaire.
3) en théorie additive inverse des nombres : le théorème de Rusza-Chang et l'introduction aux méthodes probabilistes des nombres initiées par T. Tao.
4) la loi de réciprocité quadratique sans faire appel explicitement à la théorie des corps finis.
5) une caractérisation des nombres de Pisot et une application aux ensembles d'unicité (non-unicité en fait ^^) des séries de Fourier.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Sinon, en complément de la liste de BobbyJoe, les ouvrages principaux qui traitent des méthodes de sommes d'exponentielles sont :
1. S. W. Graham & G. Kolesnik, https://www.amazon.fr/Corputs-Exponential-EXPONENTIAL-Jan-25-1991-Paperback/dp/B008H02DRS/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1509740205&sr=8-1&keywords=van+der+corput ;
2. M. N. Huxley, https://www.amazon.fr/Lattice-Points-Exponential-author-published/dp/B01H676IZK/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1509740252&sr=1-1&keywords=M.+N.+Huxley (là, les prix sur amazon sont délirants) ;
3. O. Bordellès, https://www.amazon.fr/Arithmetic-Tales-Universitext-Olivier-Bordelles/dp/1447140958 ;
4. H. L. Montgomery, Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis, AMS 84 (1994).