Restriction de Dirac
dans Analyse
Bonjour,
je cherche à définir la restriction de Dirac à $\R^\star$.
Voici je que je pense. Soit $\varphi \in \mathcal{\R^\star}$. On a $<\delta,\varphi>=\varphi(0)$
J'ai deux question:
1. Si on prend $\varphi \in \mathcal{D}(\R^\star)$ ça veut dire que $\varphi$ n'est en fait pas définie sur $\R$, alors comment on peut parler de $\varphi(0)$?
2. Quand $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ on dit que son support $Supp(\varphi)$ est inclus dans $[-a,a]$ avec $a>0$. Quand $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ où est inclus $Supp(\varphi)$?
Merci par avance pour votre aide.
je cherche à définir la restriction de Dirac à $\R^\star$.
Voici je que je pense. Soit $\varphi \in \mathcal{\R^\star}$. On a $<\delta,\varphi>=\varphi(0)$
J'ai deux question:
1. Si on prend $\varphi \in \mathcal{D}(\R^\star)$ ça veut dire que $\varphi$ n'est en fait pas définie sur $\R$, alors comment on peut parler de $\varphi(0)$?
2. Quand $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ on dit que son support $Supp(\varphi)$ est inclus dans $[-a,a]$ avec $a>0$. Quand $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ où est inclus $Supp(\varphi)$?
Merci par avance pour votre aide.
Réponses
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Toute fonction dans $\mathcal D(\mathbb R^*)$ se prolonge de manière unique en une fonction dans $\mathcal D(\mathbb R)$.
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Oui en fait je connais ce résultat mais je ne sais pas l'appliquer. Quand on dit que $\varphi \in \mathcal{D}(\R^\star)$, en fait on travaille toujours sur tout $\R$ et pas seulement sur $\R^*$ et cela en prolongeant $\varphi$ par 0 en 0. C'est ça l'idée?
Si oui donc en fait quand on dit soit $\varphi \in \mathcal{D}(\R^\star)$, on dit en posant $\varphi(0)=0$ on a $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$. C'est comme ça qu'on exprime la chose? S'il vous plaît. -
Tu dis que tu connais mais tu ne comprends pas. Pourquoi ce prolongement existe-t-il et pourquoi est-il unique ?
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Après avoir fait quelques recherches, je ne trouve pas pourquoi ce prolongement existe et est unique.
1. Pouvez vous m'en dire plus s'il vous plaît.
2. En fait le prolongement sert à définir la restriction des distributions mais je ne comprend pas bien comment.
Merci par avance pour votre aide. -
Je te l'avais expliqué sur un autre topic où tu avais déjà demandé la même chose ...
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Elle ne retient rien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1420966,1421672#msg-1421672Le 😄 Farceur
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@Gebrane: ce n'est pas du tout ça, et ce n'est pas la même question :-(
Oui Cyrano et c'est à partir de votre réponse que je sais que ça sert à définir unerestriction d'une distribution. Mais je n'ai pas compris plus que ça, et là pour définir la restriction de Dirac $\R^\star$, je vois qu'il faut prolonger $\varphi$ à $\R$ tout entier, or que logiquement pour définir une distribution sur $\R^\star$ alors on prend une fonction test sur $\R^\star$. C'est ce point qui me perturbe.
Pourquoi pour définir la restriction d'une distribution, on prend la fonction test sur un espace plus gros? De plus je cherche à savoir pourquoi ce prolongement existe et est unique. -
Je ne vois pas où il y aurait unicité.
Une fonction test sur $[a,b]$ peut se prolonger de plusieurs façons en une fonction test sur $\R$. C'est juste que parmi toutes ces façons, il y en a une qui est privilégiée (car c'est la plus "facile") qui consiste à simplement prolonger par zéro. -
Ok donc le prolongement n'est pas unique. Même dans un cours que j'ai trouvé, ils parlent de prolongement mais pas d'unicité. Mais Poirit a parlé d'unicité.
En somme, on peut dire qu'on peut prolonger $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ en un élément $\tilde{\varphi}$ de $\mathcal{D}(\Omega')$ de la manière suivante: $\tilde{\varphi}(x)=\varphi(x)$ si $x \in Supp(\varphi)$ et $\tilde{\varphi}(x)=0$ si $x \in \Omega' \ Supp(\varphi)$.
Maintenant ce qui me pose difficulté c'est comment utiliser ce prolongement par zéro pour définir la restriction d'une distribution. Par exemple pour $\delta$ si on veut définir sa restriction à $\R^\star$, on prend une fonction test de $\mathcal{D}(\R^\star)$, mais après comment on argumente le passage au prolongement? S'il vous plaît. -
Soit $U \subset V$. On vient de voir qu'il existe une fonction de prolongement $p : \mathcal{D}(U) \to \mathcal{D}(V).$ Soit à présent $T$ une distribution sur $V$. On veut la restreindre en une distribution sur $U$. Notons $r(T)$ cette distribution désirée. Donc je dois définir $r(T)(\varphi)$ pour toute fonction $\varphi \in \mathcal{D}(U)$. Sauf que justement je ne sais pas le faire car je ne connais la valeur de $T$ que pour les fonctions dans $\mathcal{D}(V)$. C'est là qu'intervient $p$. Je pose (c'est une définition) $$r(T)(\varphi) = T(p(\varphi)).$$ On dit que les applications $p$ et $r$ sont duales l'une de l'autre.
Du coup si tu veux définir $\delta$ sur $\R^{\star}$, tu prends $\varphi$ une fonction dans $\mathcal{D}(\R^{\star})$ et tu définis $$r(\delta) (\varphi) = \delta (p(\varphi)).$$ Oui sauf que comme $\varphi$ est à support compact dans $\R^{\star}$, si je le prolonge à $\R$ tout entier, il vaut forcément $0$ en $0$. Donc $\delta (p(\varphi))=0.$ Donc la distribution $\delta$ restreinte à $\R^{\star}$ est simplement la distribution nulle. (C'est logique en même temps ... :-D ) -
OK j'ai bien compris, merci infiniment! :-)
Une dérnière question: si on répond à la question de la manière suivante: Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\R^\star): <\delta_{\R^\star},\varphi>=\varphi(0)=0$ car $0 \notin Supp(\varphi)$. Cette réponse est fausse?
Aussi, pouvez vous s'il vous plaît me proposer un exercice de distributions où l'on montre qu'une forme linéaire est une distribution, puis on calcul sa restriction (à part Dirac).
Merci par avance -
Je sais que la réponse est fausse mais je l'ai trouvé dans un vieux cahier. Il est écrit que la restriction est égale à $\varphi(0)$ qui vaut 0 car $0 \notin Supp(\varphi)$, et moi comme ça m'a parru pas logique j'ai posté la question. Je sais que la réponse est fausse.:-)
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Enfin un message que j'attendais Cyrano écrivait:
la distribution $\delta$ restreinte à $\R^{\star}$ est simplement la distribution nulle.
Je vais assommer Bib. Bib dit moi si c'est faux ou juste ce que je vais raconter ci-dessous:
Si $\varphi \in \mathcal{D}(\R^\star)$ alors $Support \varphi\subset \R^*$ donc $(\R^*)^c\subset (Support \varphi)^c$ donc $\{0\}\subset (Support \varphi)^c $ donc $\varphi(0)=0$. Maintenant $\R^*\subset \R$ donc $\mathcal{D}(\R^*)\subset \mathcal{D}(\R)$ donc $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R^\star)$ alors $<\delta,\varphi>=\varphi(0)=0$ donc la distribution $\delta$ restreinte à $\R^{\star}$ est simplement la distribution nulle.Le 😄 Farceur -
Oui Gebrane, je pense que ce que vous avez écrit est correcte, mais du coup je suis perdue. Vous n'avez pas utilisé le prolongement pour passer de $\mathcal{D}(\R)$ à $\mathcal{D}(\R^\star)$ 8-)
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Je ne vois pas d'erreur dans la solution de Gebrane, mais d'un autre côté il n'utilise pas le prolongement comme dans la définition de Cyrano. Où est le mystère? S'il vous plaît.
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S'il vous plaît, Cyrano ou Poirot, Gebrane a donné une solution pour calculer la restriction de dirac sans utiliser le prolongement par 0 de la fonction test. Est-ce que c'est correct? C'est une autre méthode? Si ce n'est pas correct, alors pourquoi? S'il vous plaît.
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Le raisonnement ne tient pas puisqu'il parle du complémentaire de $Supp \,\varphi$... dans $\mathbb R$ ! Et il parle sans gêne de $\varphi(0)$. Et l'inclusion $$\mathcal{D}(\R^*)\subset \mathcal{D}(\R)$$ n'a de sens qu'après prolongement.
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Merci beaucoup pour la réponse. Je suis d'accord avec les deux derniers points, mais pour le premier point, pourquoi on ne peut pas parler du complémentaire de $Supp \varphi$ dans $\R$?
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Parce que $Supp \,\varphi$ est défini comme une partie de $\mathbb R^*$, il est donc stupide de regarder son complémentaire dans $\mathbb R$ si on s'intéresse à cette partie. C'est comme si tu voulais étudier les nombres premiers dans $\mathbb N$, et pour ça tu regardais son complémentaire. Mais si tu prends son complémentaire dans $\mathbb C$ par exemple ça n'a plus aucun sens !
Bref, on peut le faire mais c'est stupide. Et la déduction $\{0\} \subset (Supp \,\varphi)^c$ donc $\varphi(0)=0$ est complètement fausse pour les mêmes raisons. Encore une fois, $\varphi$ n'est définie que sur $\mathbb R^*$. -
J'ai proposé une preuve exclusivement à Bib en lui demandant si c'est faux ou juste. Dommage que Poirot ne laisse pas bib travailler ces neurones. Bib est en master et elle est censée savoir si une preuve est juste ou fausse, j’espérais que Bib remarquait au moins que l'inclusion $\mathcal{D}(\R^*)\subset \mathcal{D}(\R)$ était fausse puisque si une fonction $C^\infty$ de $\R^*$, il n'est pas nécessairement $C^\infty$ de $\R$Le 😄 Farceur
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Gebrane j'ai travaillé mes neurones et j'ai donné ma réponse hier, Poirot m'a rendu service en m'expliquant des choses que je n'aurais jamais compris. Comme les maths ne sont pas des devinettes, alors il me fallait de l'aide et que mon cours et très trèèèès peu riche ce qui me rend très perturbée des fois, je combat seule comme je peux. Merci beaucoup beaucoup pour votre aide.:-)
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Excuse moi mais tu ne cessais de répéter: je ne vois aucune faute dans la preuve de gebrane0, si aucune réplique de ma part c'est qu'il fallait te laisser le temps pour y voir mais dommage que tu laisses passer de grandes énormitésLe 😄 Farceur
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Merci pour votre aide :-)
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Bonjour,
je cherche à calculer $Supp(\delta)$.
Voici ce que j'ai fait. On pose $F=\{0\}$ et on montre que $Supp (\delta)= F$, et on montre que $\omega=\R^\star$ est le plus grand ouvert sur lequel $\delta$ s'annule. C'est à dire qu'on montre que pour tout $\varphi \in \mathcal{\omega}, <\delta,\varphi>=0$. On fait ça en 3 étapes.
1. On montre que $\omega$ est un ouvert. $\R^\star$ est un ouvert car c'est la réunion de deux intervalles ouverts.
2. On montre que $\delta$ s'annule sur $\omega$. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\omega)$, ce qui signifie que $Supp \varphi \subset \omega$. Et là je bloque un peu. On considère que $\varphi \in \mathcal{D}(\omega)$ et $0 \notin \omega$, alors comment savoir ce que vaut $\varphi(0)$?
Merci par avance pour votre aide.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD] -
Tu n'en as pas marre de poser 50 fois la même question ? http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1554928,1554928#msg-1554928
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Ahh justement ce n'est pas la même question. Je n'ai pas fait le lien direct entre ça et la restriction. Alors en fait on définit la restriction de $\delta$ à $\R^\star$! Je suis bête :-(
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Alors voici mapreuve pour $Supp (\delta)=\{0\}$. On pose $F=\{0\}$ et on montre que $Supp (\delta)= F$, et on montre que $\omega=\R^\star$ est le plus grand ouvert sur lequel $\delta$ s'annule. C'est à dire qu'on montre que pour tout $\varphi \in \mathcal{\omega}, <\delta,\varphi>=0$. On fait ça en 3 étapes.
1. On montre que $\omega$ est un ouvert. $\R^\star$ est un ouvert car c'est la réunion de deux intervalles ouverts.
2. On montre que $\delta$ s'annule sur $\omega$. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\omega)$, ce qui signifie que $Supp \varphi \subset \omega$. Et là je bloque un peu. On considère que $\varphi \in \mathcal{D}(\omega)$ et $0 \notin \omega$, on a vu que la restriction de Dirac à $\R^\star$ est 0. Donc $\delta$ s'annule sur $\omega$.
3. On montre que $\omega$ est le lus grand ouvert sur lequel $\delta$ est nulle. On suppose qu'il existe un ouvert plus grand que $\omega$ sur lequel $\delta$ s'annule. Un ouvert plus grand que $\omega$ est $\R$, c'est à dire qu'on suppose que $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R): <\delta,\varphi>=0$ ce qui est faux. Donc on conclut qu'il n'y a pas un ouvert plus grand que $\omega$ sur lequel $\omega$ est nulle.
On conclut que $Supp T=F$.
C'est bien?
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