Forme de suite convergente
dans Analyse
Bonsoir à tous désolé j'ai un petit souci au niveau d'une question sur les suites.
Un=(1-1/2^2) (1-1/3^2)... (1-1/n^2)
Écrire 1-1/k^2 d'une manière faisant apparaître la convergence de la suite Un
Donner alors la limite de u. Bon a ce niveau je pense que si on a pu écrire la suite de la forme 1-1/k^2 alors la limite sera 1.
Merci d'avance
Un=(1-1/2^2) (1-1/3^2)... (1-1/n^2)
Écrire 1-1/k^2 d'une manière faisant apparaître la convergence de la suite Un
Donner alors la limite de u. Bon a ce niveau je pense que si on a pu écrire la suite de la forme 1-1/k^2 alors la limite sera 1.
Merci d'avance
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Allez !
Dans un produit, lorsque l'on passe de la borne $n$ à $n-1$ cela peut être au moins pour deux raisons :
-on sort le dernier facteur
-on effectue un changement de variable dans le terme général
Ici, j'aurais plutôt écrit :
$\displaystyle P_n= \prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} \times \prod_{k=2}^{n} \frac{k+1}{k} $
$\displaystyle P_n= \prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} \times \prod_{k=3}^{n+1} \frac{k}{k-1} $ (changement de variable)
Puis sortir le premier facteur (premier produit) pour $k=2$ et le dernier facteur (second produit) pour $k=n+1$ pour avoir les mêmes indices et simplifier (télescoper) les quotients.
$\displaystyle P_n= \dfrac{1}{2} \times \prod_{k=3}^{n} \frac{k-1}{k} \times \prod_{k=3}^{n} \frac{k}{k-1} \times \dfrac{n+1}{n} $
$P_n=\dfrac{n+1}{2n}$
Question : @Poirot, sais-tu pourquoi quand je copie ton code LaTeX cela ne me donne pas les "gros $\pi$" alors que si j'ajoute le "displaystyle", cela fonctionne ?
Pour ce qui est du symbole du produit, c'est certainement car tu l'écrit seulement entre dollars (au lieu de double dollars). Le displaystyle permet d'afficher en grand un symbole, comme si on était entre double dollars. Il faut faire la même chose pour sum, int, cup, cap, etc.
Mauvaise lecture de ma part.
Par exemple, j'ai cru que le $\frac{1}{2}$ était dans le produit $\displaystyle \prod$ et que tu le multipliais plusieurs fois avec lui-même.
Au temps pour moi.
Ha oui ok pour les dollars et doubles dollars.
la suite $(u_n)$ est effectivement convergente de limite égale à $\frac{1}{2}$
on peut me le montrer facilement en considérant le produit eulérien infini :
$\frac{sin(\pi.x)}{\pi.x} = (1 - \frac{x^2}{1^2})(1 - \frac{x^2}{2^2}).........(1 - \frac{x^2}{n^2})......$ que l'on peut écrire aussi :
$\frac{sin\pi(1-x)}{\pi(1-x)x(1+x)} = (1 - \frac{x^2}{2^2})..........(1 - \frac{x^2}{n^2}).......$
lorsque x tend vers 1 le premier membre tend vers $\frac{1}{2}$
et le second membre tend vers la limite de $u_n$
cordialement