Limite de cos avec nombre périodique

Abilys38 · November 2017

Bonjour
On me demande de donner la limite en l'infini de la suite $$ \Re(U_n) = \Re\Big(\exp\Big(\frac{10^n 2 \pi i}{p}\Big)\Big),
$$ $p$ étant un nombre premier strictement supérieur à 2.

Par exemple, la suite diverge pour $p = 7$, mais converge pour $p = 11$.
Je ne sais pas trop comment orienter ma réponse.
Des idées ?
Bonne soirée !

Math Coss · November 2017

Les seules suites périodiques convergentes sont les suites constantes.

Abilys38 · November 2017

Merci de votre aide!

Je n'arrive pas à faire le lien avec les nombres 1/p ??

Math Coss · November 2017

La réponse ne dépend pas de $p$ (du moins, si $p\ne5$), la suite diverge toujours parce qu'elle est toujours périodique et non constante (pourquoi ?).

Non, on prend la partie réelle, $p=11$ est une exception parce que la suite est constante à cause de la partie réelle : $10^n\equiv(-1)^n\pmod{11}$. Pour les autres valeurs de $p$, la suite est périodique et non constante.

moduloP · November 2017

Et $p=3$ également non ?

Math Coss · November 2017

Ah ? C'est un nombre premier ? Peut-être alors.

Il faudrait savoir pour quels $p$ on a $10\ne\pm1\pmod{p}$, puis de résoudre convenablement cette équation. Apparemment, je n'y arrive pas. Donc bonne chance.