Dériver $u(x)^{v(x)}$ ou $\tan(x)^{\sin(x)}$

Hob___ · November 2017

Bonjour, si je sais que $(g \circ f)'(x)= f'(x).(g' \circ f)(x)$,
souhaitant dériver $f(x)=u(x)^{v(x)}$ où $u$ et $v$ sont deux fonctions non constante de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.

J'ai donc une première fonction $u: x \rightarrow u(x)$ et une seconde $g: machin \rightarrow machin^{v(x)}$.
Donc $ f(x)=(g \circ u)(x)$
$ f'(x)= u'(x).(g'(u(x))$

Comment finit-on ?

Edit : simplement, quelle est la dérivée de $u(x)^{v(x)}$ ?

Poirot · November 2017

Pour que ton écriture ait un sens, on peut pour commencer supposer que la fonction $u$ prend des valeurs strictement positives. Dans ce cas on a pour $x$ dans ton intervalle, $$u(x)^{v(x)} = \exp(v(x) \log(u(x)).$$ Je te laisse dériver à partir de ça ;-)

Hob___ · November 2017

$u(x)$ prend des valeurs strictement positives. $$
\big(u(x)^{v(x)}\big)'\Big(v'(x)\log\big(u(x)\big)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}\Big)u(x)^{v(x)}
$$ En considérant la fonction $f : x \mapsto \tan(x)^{\sin(x)}$
On a donc $D_f=\,] 2k\pi ,\frac{\pi}{2}+2k\pi[\cup](2k+1)\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi[,$ où $k \in \mathbb Z$
Sur les intervalles $] 2k\pi ,\frac{\pi}{2}+2k\pi[$ on a donc $f'(x)=\Big(\cos(x)\log\big(\tan(x)\big)+\frac{1}{\cos(x)}\Big) \tan(x)^{\sin(x)}$

Est-ce juste ? (^_^;)