dérivée dans D'

Oh oui pardon, $|\cos(x)|$ n'est pas de classe $C^1$ elle n'est pas dérivables aux points $x$ où $\cos(x)=0$ donc elle n'est pas dérivable aux points $a_k=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \Z$. Par contre elle est continue sur tout $\R$ donc elle n'admet pas de sauts. Ainsi, $(T_f)'=T_{f'}$, mais comment calculer $f'$?

J'ai une autre question s'il vous plaît. On considère la fonction $g$ définie de $\R$ dans $\R$, $2 \pi$ périodique telle que $g(x)=x$ pour tout $x \in [0,2 \pi[$. Je cherche à calculer $g'$ au sens des distributions. Alors on commence par remarquer que $g$ est de classe $C^1$ par morceaux, mais elle a des sauts aux points $2 k \pi$ et $2(k+1)\pi[$

Maintenant, $g$ est périodique sur $\R$ de periode $2 \pi$. Puisqu'elle est $L^1_{loc}$ elle définie la distribution
$$
<g,\varphi>= \sum_{k \in \Z} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} g(x) \varphi(x) dx.
$$
Donc
$$
<g',\varphi>=-<g,\varphi'>= - \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} g(x) \varphi'(x) dx= - \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx
$$
on calcule $ \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx$ par ipp, et on a
$$
\displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx= [x \varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} -\displaystyle\int_{2k \pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx.
$$
Mais puisque $g$ est periodique alors $g(2 k \pi)= g(2(k+1)\pi)=0$ mais ça me fait bizarre d'écrire que ça implique que $[x \varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \neq 0$ vu que $g$ est nulle en ces deux points. Je suis perturbée par ce point.

une fonction $ \pi$ périodique veut dire que $g(x+ 2 \pi)= g(x)$ pour tout $x \in \R$, avec le fait que $g(x)=x$ pour tout $x \in [0,2\pi[$ comment combiner ces deux informations pour montrer que $(g)=x-2 k \pi$ sur $[2k\pi, 2(k+1)\pi[$? S'il vous plaît

Bonjour,
on a calculé $f'$ (la dérivée au sens des distributions de $f(x)=|\cos(x)|$) et on a obtenu
$$
<f',\varphi>=\sum_{k \in \Z} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x) \varphi(x) dx)
$$
Pour $f''$: on remarque que $f'$ a des sauts, donc on devrait obtenir des Dirac. Voici ce que j'obtiens:
$$
<f'',\varphi>= \sum_{k\in \Z} (-2 \sin(a_{2k+1}) \varphi(a_{2k+1})+ \sin(a_{2k}) \varphi(a_{2k})-\sin(a_{2k+1})\varphi(a_{2k+1})-\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx+ \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx
$$
Mais le théorème des sauts est donné pour un nombre fini de points, or qu'ici on fait la somme sur $\Z$! Il risque alors d'y avoir la non convergence. Non?

Oui je sais que $\varphi$ est une fonction test, donc à partir d'un certain $k_0$, les termes de la série vont s'annuler, et au final c'est une somme finie. Mais le prof a dit que la formule des sauts est faite pour un nombre fini de points afin d'éviter la divergence de la série, et si le nombre de sauts est infini, alors il y a problème 8-).Bon, je suis certaine maintenant qu'il n y a aucun problème avec un nombre infini de saut car les termes sont nuls à partir d'un certain rang.
Et pour le résultat obtenu, il est correct? S'il vous plaît.

Le cas de mon dernier post existe bien. Non? Alors que dire de la convergence de la série dans ce cas? S'il vous plaît.

Renus, je ne cherche pas à calculer d'autres dérivées. Ma question est la suivante. J'ai calculer $f''$ au sens des distribution. C'est une somme sur $k \in \Z$. J'obtiens plus exactement
$$
<f'',\varphi>= \sum_{k\in \Z} (-2 \sin(a_{2k+1}) \varphi(a_{2k+1})+ \sin(a_{2k}) \varphi(a_{2k})-\sin(a_{2k+1})\varphi(a_{2k+1})-\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx+ \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx
$$
Ma question est: il y a une somme infinie, et la somme peut diverger. On peut penser que puisque $\varphi$ est une fonction test, alors les termes vont s'annuler à partir d'un certain $k$, et c'est du coup une somme finie. Mais, si les indices (i.e. les points où il y a des sauts) tendent vers un nbre reel par ex 0 comme c'est le cas par ex de $1/n$ et que $\varphi =1$ au voisinage de 0, la serie va diverger si les sauts sont par constants. Donc on fait comment dans ces cas? S'il vous plaît.

Pardon si c'est une question bête, mais pourquoi est-ce que les sauts de la dérivées de $x \to |\cos x|$ n'ont pas de points d'accumulation? Comment vous avez vu directement que ce cas n'est pas possible? S'il vous plaît

Oui $a_k= \dfrac{\pi}{2}+ k \pi$ où $k \in \Z$.
$$
<|\cos(x)|',\varphi>= \sum_{k \in \Z} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x) dx)
$$
on a $\sin(a_{2k})=1$ et $\sin(a_{2k+1})= -1$ et $\sin(a_{2k+2})=1$ donc $\sin$ admet des sauts aux point $a_{2k}, a_{2k+1}$ et $a_{2k+2}$.
par définition, un point d'accumulation d'un ensemble est un point tel que l'intersection entre l'ensemble avec n'importe lequel de ses voisinage n'est pas vide.
1. Je ne sais pas voir directement si $a_k$ est un point d'accumulation.
2. pourqoui le fait qu'il ne soit pas point d'accumulation implique que la série converge.
Je vous serez grée de m'expliquée ces deux points s'il vous plaît.

Euh non ce n'est pas une erreur de frappe. J'ai revu la notion de point d'accumulation. On note $A_k=\{a_k, k \in \Z\}$. on dit que $a_i \in A_k$ est un point d'accumulation si tout voisinage de $a_i$ contient une infinité de points de $A_k$, et c'est équivalent à dire qu'il existe une suite injective de points de $A_k$ qui converge vers $a_i$.
Dans mon exercice, $a_i= \dfrac{\pi}{2}+i\pi,$ où $i$ est fixé dans $\Z$. Ma question est comment on voit que les sauts de la dérivée de $|\cos|x|$ ne sont pas des points d'accumulations? Et aussi c'est quoi le lien avec la convergence de la série.
Merci par avance pour votre aide.

Oui il existe un voisinage $]i \pi, \pi+i\pi[$ tel que ce voisinage ne contient qu'un seul point $a_i$, on a trouvé un voisinage de $a_i$ qui ne contient pas une infinité de sauts. Donc les points $a_i$ ne sont pas des points d'accumulation. Vous êtes d'accord?
Si oui, c'est quoi le lien entre le fait que les $a_i$ ne soient pas des points d'accumulation et la convergence de la suite? S'il vous plaît.