Transformation de Fourier

yassinyassin100
yassinyassin100
dans Analyse
Bonjour
S'il vous plaît je vous demande votre avis sur un sujet mathématique-physique qu'est le traitement du signal, spécialement sur la transformation de Fourier. J'ai lu une proposition [qui] dit que l'on ne peut calculer la transformation de Fourier que pour les fonctions intégrable et de carré intégrable, les fonctions $\in L^1(\R)\cap L^2(\R)$. j'ai trouvé une question dans un exercice :
calculer la transformation de Fourier de la fonction $\cos(2\pi f_0t)$ et $\sin(2\pi f_0t)$, j'ai dit immédiatement que ça n'existe pas car elles n'appartiennent pas à $\in L^1(\R)\cap L^2(\R)$, j'ai trouvé un autre résultat dans la corrigé, j'ai trouvé $TF(\cos(2\pi f_0t)) = 1/2(\delta(f+f_0) +\delta(f-f_0) )$ ??
Comment ils sont trouvé ce résultat ? Pourquoi ça existe ? Est-ce qu'il y a un problème avec la définition ?
Merci de votre réponse.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    C'est une transformation de Fourier au sens des distributions tempérées.
  • yassinyassin100
    yassinyassin100
    quelle est la définition mathématique de la transformation de Fourier au sens des distributions tempérées?
  • Poirot
    Poirot
    Eh bien ça veut dire qu'il faudrait que tu lises un cours sur les distributions et les distributions tempérées, je vais pas pouvoir t'expliquer ça en quelques lignes sur le forum !
  • gebrane
    gebrane
    On peut éviter de parler des distributions tempérées dans un cours de physique. Tu peux répondre à ta question en admettant que
    Fourier de 1 est Dirac et en utilisant Euler pour le cosinus et le théorème de multiplication par un exponentiel
    Le 😄 Farceur


  • yassinyassin100
    yassinyassin100
    @gebrane si j'ai compris ce que tu as dis alors $TF(1) ==\delta(f), $ et $cos(x)=1/2(1*e^{2i\pi f_0}+ 1*e^{-2i\pi f_0}) $ et donc $TF(cos(x)) = 1/2TF(f-f_0)+1/2TF(f+f_0) $
    Merci @gebrane
  • yassinyassin100
    yassinyassin100
    $TF(1)==\delta$??? comment ca ? quelle est la formule de calcule ?
  • Poirot
    Poirot
    Encore une fois, c'est au sens des distributions tempérées...
  • gebrane
    gebrane
    Un bon physicien doit savoir ( en dehors de la justification mathématiques) Fourier de Dirac qui donne par inversion: le calcul Fourier de 1 ( avec des constantes selon les conventions)

    Mais dans un cours mathématiques, tu dois connaitre les distribuons tempérées
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Voici une preuve à la J-L http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1101715,1103257#msg-1103257
    que remarque a aimé :-D http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1101715,1103265#msg-1103265
    Le 😄 Farceur


  • yassinyassin100
    yassinyassin100
    Merci @gebrane
  • yassinyassin100
    yassinyassin100
    Je veux calculer le transformation au sens distribution de la fonction $\delta(t-a) $ soit $\phi\in D $ $\displaystyle <F(\delta(t-a)),\phi>= <\delta(t-a),F(\phi)> =F(\phi)(t-a)=\int_R e^{-2i\pi f(t-a)}\phi(f)df= < e^{2i\pi fa},F(\phi) > $ ici je suis Bloqué, quelqu'un peut m'aidé
    Merci
  • Poirot
    Poirot
    Je me demande bien comment tu obtiens ta dernière égalité.
  • yassinyassin100
    yassinyassin100
    $\int_R e^{-2i\pi f(t-a)}\phi(f)df =\int_R e^{2i\pi fa}e^{-2i\pi ft}\phi(f)df = \int_R e^{2i\pi fa}F(\phi)(t)df = < e^{2i\pi fa},F(\phi) > $ ? je ne suis pas sur
  • Poirot
    Poirot
    C'est n'importe quoi. Tu dis que $$\mathrm{e}^{-2i \pi ft} \phi(f) = F(\phi)(f).$$ Tu pourrais remarquer qu'une fois que tu las quantité $$\int_R e^{-2i\pi f(t-a)}\phi(f)df$$ c'est fini.
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