support d'une distribution

bibitemmallogé · November 2017

Bonjour,
soit $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ et soit $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$. On sait que si $\varphi=0$ au voisinage de $Supp T$ alors $<T,\varphi>=0$.
Je lis une remarque qui dit ceci: si $\varphi=0$ sur $Supp T$ alors ça n'implique pas que $<T,\varphi>=0$. Pourquoi? Et est-ce qu'il y a un contre exemple qui le montre?
Merci par avance pour votre aide.

Cyrano · November 2017

Tu veux surement dire, si $\varphi =0$ sur $supp(T)$ alors ça n'implique pas que ...

bibitemmallogé · November 2017

oui pardon, j'ai corrigé.

bibitemmallogé · November 2017

up

Cyrano · November 2017

Bon alors, déjà il existe un théorème qui dit que si $\phi$ ainsi que toutes ses dérivées sont nulles sur le support de $T$ alors $\langle T, \phi \rangle =0.$

Donc pour trouver un contre-exemple, il faut trouver $\phi$ qui s'annule sur $supp(T)$ mais dont une dérivée n'y est pas identiquement nulle. En plus si $T$ est d'ordre $m$, l'annulation des $m$ premières dérivées suffit pour avoir $\langle T, \phi \rangle =0.$ Il faut également que le support de $T$ ne soit pas trop régulier (en un sens défini dans le livre fondateur de Schwartz sur les distributions.)

Bref trouver un contre-exemple n'est pas une sinécure.

seb78 · November 2017

Prendre une fonction $C^{\infty}$ nulle à l'origine sans que sa dérivée ne le soit (par exemple $x \to \sin(x)$). Multiplier cette fonction par une fonction test qui ne s'annule pas en l'origine (par exemple la fonction qui vaut $e^{-\frac{1}{1-|x|^2}}$ pour $|x|<1$ et qui vaut $ 0$ sinon.

Alors, le produit $\displaystyle \varphi(x) = \sin(x)\,e^{-\frac{1}{1-|x|^2}}$ pour $|x|<1$ et $\varphi(x)= 0$ sinon, appartient bien à $\mathcal{D}(\R)$ et vérifie en plus $\varphi(0)=0$ et $\varphi'(0)\neq 0$

Ensuite si $T=\delta'$ on a bien les conditions demandées à savoir:

* $supp(\delta')=\{0\}$
* $\varphi(0)=0$ donc $\varphi =0$ sur $supp(T)$ et
* $\langle \delta', \varphi \rangle =- \varphi'(0)\neq 0$

bibitemmallogé · November 2017

Merci infiniment seb78 c'est vraiment très clair! Merci beaucoup :-)

gebrane · November 2017

Et si le support de T n'est pas réduit à $\{0\}$ , un contre exemple?

bibitemmallogé · November 2017

Ah ça je ne sais pas. Moi je me suis dit que si on cherche un contre exemple, autant utiliser une distribution dont le support est simple, comme ici qui se réduit à point. Vous avez un autre exemple?

Tryss · November 2017

@gebrane : je suppose que ta question est plutôt "et si le support de $T$ ne contient pas de point isolé", sinon il suffit d'adapter le contrexemple de seb78

gebrane · November 2017

Ma question est lorsque le support de T n'est pas formé uniquement de points isolés.

Héhéhé · November 2017

$\delta + \mathbf 1_{[3,4]}$

bibitemmallogé · November 2017

Bonjour,
le dernier théorème du cours des distributions concerne les distributions à support compact et dit ceci: Soit $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$
. On a:
1. $T$ est d'ordre fini
2. si $m$ est l'ordre $T$ alors pour tout compact $K$ voisinage de $Supp T$, il existe une constante $C$ telle que $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R): |<T,\varphi>| \leq C P_{K,m}(\varphi)$.

Mon prolème est avec la preuve de ce théorème: soit $K$ un compact voisinage de $Supp T$, et soit $\chi \in \mathcal{D}(\Omega)$ tels que $Supp(\chi) \subset K$ et $\chi=1$ au voisinage de $Supp T$.
On considère $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ et on remarque que $\varphi-\chi.\varphi=0$ au voisinage de $Supp T$, donc d'après un théorème on a $<T,\varphi-\chi.\varphi>=0$ donc $<T,\varphi>=<T,\chi \varphi>.$ Puisque $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$, alors il existe $C>0$ et $l\in \N$ tel que $\forall \psi \in \mathcal{D}(\Omega), |<T,\psi>| \leq C. P_{K,l}(\psi)$. On remarque que $\chi.\varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega)$, et donc
$$
|<T,\varphi>| =|<T,\chi.\varphi>| \leq C P_{K,l}(\chi.\varphi) \leq C' P_{K,l}(\varphi),
$$
tel que $C'$ est une constante qui dépend de $\chi$. Donc $T$ est ordre fini car $l$ ne dépend que de $K$ qui est fixé.

Ma question est: je ne comprend pas la logique de cette preuve, c'est quoi l'hypothèse? Et pourquoi faire intervenir une telle fonction $\chi$? Si quelqu'un peut me donner les grandes lignes d'une preuve logique à ce théorème. Merci par avance pour votre aide.

BobbyJoe · November 2017

Les constantes et les semis-normes intervenant dans la continuité d'une distribution dépendent du compact dans lequel vivent les fonctions tests. L'hypothèse de support compact sur ta distribution permet d'obtenir une estimée uniforme en localisant par cette fameuse fonction $\chi$...

Cyrano · November 2017

Et par ailleurs, le fait de travailler sur un voisinage de $supp(T)$ est essentiel. (Un peu comme sur ton autre topic.) Serais-tu capable de produire un contre-exemple si on ne travaillait pas au voisinage mais juste sur $supp(T)$ ?

bibitemmallogé · November 2017

(tu) Merci BobbyJoe
et donc pour la définition d'une distribution à support compact. Pour une distribution, la constante de continuité dépend du compact dans le quel est inclus le support de la fonction test. Pour une distribution à support compact, la constante C dépend du compact où est inclus le support de la distribution (pas le support de la fonction test). C'est bien ça? S'il vous plaît.

bibitemmallogé · November 2017

Finalement, j'ai un petit souci avec ce théorème. L'énoncé dit ceci: Soit $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$ c'est à dire qu'on a déjà supposé que $T$ est une distribution à support compact. Puis on cherche à montrer que $T$ est d'ordre fini, c'est à dire qu'il faut arriver à montrer que le $m$ dans la continuité ne dépend pas du compact fixé au départ. C'est bien ça. D'après le théorème, ceci revient à montrer que pour tout compact $K$ voisinage de Supp T, il existe une constante C telle que $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega): |<T,\varphi>| \leq C P_{K,m}(\varphi)$.
J'ai deux questions:
1. Cette relation qu'on nous demande de prouver est claire puisque dès le départ on a supposé que $T$ est une distribution, donc elle est déjà vérifié. Qu'est ce qui est caché?
2. Quand on fait intervenir la fonction $\chi$ qui vaut $1$ au voisinage de $K$, on obtient que $|<T,\varphi>|=|<T,\chi \varphi>| \leq C P_{K,m}(\varphi)$, en sachant que $K$ est le voisinage de $Supp T$, pourtant on doit montrer la continuité pour n'importe quel compact, et là on le fixe. Je ne comprend pas.
Merci par avance pour votre aide.

reuns · November 2017

$T$ est une distribution à support compact ça veut dire que $\langle T, \varphi \rangle =\langle T, \chi \varphi \rangle$ où $\chi \in C^\infty_c$ et vaut $1$ sur un ouvert contenant $\text{supp}(T)$.

Donc $|\langle T, \varphi \rangle | \le \ldots$ où les constantes dépendent du support de $\chi\varphi$ donc du support de $\chi$ et indépendamment de celui de $\varphi$.

bibitemmallogé · November 2017

Voici la preuve que j'ai:
Soit un compact K voisinage de $Supp T$, et soit $\chi \in D$ tel que: $\chi=1$ au voisinage de $K$, et $Supp(\chi) \subset K$, et soit $\varphi \in D$.
On considère la fonction test $(1-\chi)\varphi$, et puisque $(1-\chi)\varphi=0$ au voisinage de$ K$, alors on a que $<T,(1-\chi)\varphi>=0$.
Donc,
on a pour tout $\varphi \in

<T,\varphi>=<T,\chi,\varphi>$
On remarque que $\chi \varphi \in D_K$, puisque $T$ est une distribution, alors il existe une constante $C$ qui dépend du compact $K$ telle que
$|<T,\varphi>| \leq C P_{K,m}(\varphi)$

J'ai seulement les 3 questions suivantes s'il vous plaît,
1. Commentst-ce qu'on remarque que la constante $C$ et m marche pour tous les compacts de $\R$?
2. Qu'est ce qu'on en déduit?
3. Le rôle de \chi est uniquement celui de travailler au départ sur un compact voisinage de Supp T? C'est quoi le but de commencer à travailler sur le voisinage de Supp T puis de montrer que c'est vrai pour tout compact.

reuns · November 2017

Si $T$ est une distribution à support compact et d'ordre $K$ alors $\langle T, \varphi \rangle$ est bien défini pour $\varphi \in C^K$ (sais-tu le démontrer ? Prends $\varphi_n \in C^\infty_c$ où $ \varphi_n \to \varphi$ dans $C^K(a,b)$)

Donc on peut regarder $f = T \ast \frac{x^{K+1}}{(K+1)!} 1_{x > 0}$ qui est une fonction continue et $$f^{(K+1)}= T \ast \frac{d^{K+1}}{dx^{K+1}}\frac{x^{K+1}}{(K+1)!} 1_{x > 0}= T \ast \delta = T$$

Exemple de distribution d'ordre infini (donc à support non-compact) : $S(x) = \sum_{n=1}^\infty \delta^{(n)}(x-n)$

support d'une distribution

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