Montrer que ]a,b[ est un ouvert de R

AG11235 · November 2017

Bonjour, je n'arrive pas à démontrer que l'intervalle ]a,b[, avec a et b des réels tels que a < b, est un ouvert de R.
La chose est peut être simple mais je n'arrive pas à aboutir la démonstration...

Je cherche une boule ouverte B(x,r) tel que pour tout x appartenant à ]a,b[, B(x,r) soit incluse dans ]a,b[. J'ai commencé par trouver des conditions sur r :

Soit c appartenant à ]a,b[. Pour que B(x,r) soit incluse dans ]a,b[, il faut que :

c + r r a => r < c - a

Ce qui nous donne :

r < (b-a)/2 (pas fort comme condition...)

Mais r ne peut être une constante car si c'est le cas la boule sort de l'intervalle ]a,b[ au voisinage de a ou de b. Je me suis dit que plus x est proche de b (x augmente), moins r est grand. r est donc une fonction de x. Je tente de trouver un r de la forme : constante - |x| ou (constante 1)/|x| - constante 2, mais je ne parviens pas à vérifier les conditions sur r...

Si quelqu'un a une idée ou une critique pour me faire avancer, il serait aimable de la partager car cet exercice m'a pris énormément de temps ! Merci.

Shah d'Ock · November 2017

Ça ressemble à quoi une boule ouverte de $\R$?

AG11235 · November 2017

C'est un intervalle ouvert a priori

ms ds Mais dans ce cas cela revient à montrer qu'une boule ouverte de R est un ouvert de R, c'est la même question on dirait...

[À l'avenir, écris tes mots en entier. Merci. AD]

moduloP · November 2017

Lorsque tu écris :

c + r r a => r < c - a

Ce qui nous donne :

r < (b-a)/2 (pas fort comme condition...)

Je pense que tu fais la demi-somme des deux conditions et je pense que le souci est là ! Tu perds l'information concernant $c$ (d'ailleurs $c=x$).

AG11235 · November 2017

Une boule ouverte sur R c'est l'ensemble B(x,r) = { les t appartenant à R tels que |x-t| < r }

Bruno · November 2017

Bonsoir.

Que penses-tu de $]0,1[ \cap ]2,3[$ ? C'est pour ta réponse concernant les ouverts. Ensuite, il te faut trouver un rayon tel que la boule de centre $x$ et de rayon $r$ soit incluse dans $]a,b[$ ; il me semble que la relation sur le rayon fasse intervenir $x$.

Bruno

Fin de partie · November 2017

AG11235:

Ce qui fait marcher les choses est que les nombres $a,b$ "extrémités" de l'intervalle ouvert $]a,b[$ en sont exclus.
Un simple dessin permet de comprendre que pour chaque nombre x de l'intervalle ]a,b[ (donc x n'est ni a, ni b) on peut trouver un $r>0$ tel que $]x-r,x+r[$ soit inclus dans $]a,b[$

PS:
Ce qui fait que $]a,b[$ est une réunion de boules ouvertes et est donc bien un ouvert.

AG11235 · November 2017

c'est vrai j'y avais pensé mais sans développer !

Je ne sais pas si on peut parler de densité de R comme pour Q mais je suis tenté de dire :

Soit x appartenant à ]a,b[. On a :
a < x < b
En prenant comme argument la densité de R, il existe une infinité de nombre réel entre a et x. On nomme d1 la distance euclidienne entre deux de ces nombres. De même, il existe une infinité de nombre réel entre x et b. On nomme d2 la distance entre deux de ces nombres.

Puis on prend r = min {d1,d2}.
Donc pour tout x appartenant à ]a,b[, ]x-r,x+r[ est inclus dans ]a,b[. Or B(x,r) = { les t appartenant à R tels que |x-t| < r } = ]x-r,x+r[

Enfin ! C'est bon j'ai l'impression mais je veux faire l'exo autrement maintenant (en trouvant r d'une autre manière) !

gebrane · November 2017

$\forall x\in ]a,b[$ il existe $r_x=min (x-a, b-x)>0$ tel que $]x-r_x,x+r_x[\subset ]a,b[$ Pourquoi?

Shah d'Ock · November 2017

C'est moi qui suis mal reveillé, ou $]a,b[$ est une boule ouverte, donc un ouvert par définition?

AG11235 · November 2017

Merci Fin de partie pour ta suggestion qui m'a donnée l'idée de résolution mais je ne vois pas où tu utilises l'argument de l'intersection d'ouverts dans ton raisonnement...

millie · November 2017

FdP parlait de réunion d'ouverts et non d'intersection

AG11235 · November 2017

Je comprends ta réaction Shah d'Ock mais je ne pense pas que ça fasse partie de la définition. D'ailleurs dans ma feuille d'exos on me demande après de démontrer qu'une boule ouverte est un ouvert de R^(n) par exemple. Je dirais que c'est une propriété mais pas une définition. Et les choses évidentes peuvent être très difficiles à démontrer parfois comme tu dois sûrement le savoir !

Shah d'Ock · November 2017

Alors c'est quoi la définition d'ouvert?

Héhéhé · November 2017

J'imagine qu'un ouvert est défini comme un ensemble $A \subset \R$ (j'exclue le cas du vide) tel que pour tout $a \in A$, il existe une boule ouverte centrée $B(a,r) = \{ x \in \R\colon \vert x -a \vert < r\}$ en $a$ de rayon $r>0$ telle que $B(a,r) \subset A$.

En gros il faut montrer que pour tout point d'une boule ouverte, il y a une petite boule ouverte centrée en ce point contenue dans la grosse boule.

AG11235 · November 2017

Dans R^(n) c'est une partie U de R^(n) tel que chacun de ses éléments soit le centre d'une boule ouverte de rayon r > 0 et incluse dans U.

millie · November 2017

Si on résume, tu dois montrer que : $$ \forall x \in\, ]a,b[,\ \exists r>0,\ ]x-r,x+r[\, \subset \,]a,b[
$$ Vois-tu un $r$ potentiel ?

edit : Gebrane a donné une indication plus précise au dessus.

Shah d'Ock · November 2017

Effectivement, je me souviens à présent d'avoir fait ce genre d'exercices dans ma prime jeunesse.

gebrane · November 2017

@millie
J'aime la photo de ton profil: un personnage pensif

AG11235 · November 2017

gebrane :

Merci pour la proposition facilement démontrable en effet. Mais difficile à voir non ? Je veux dire pour moi qui ne connaît pas la technique... Vous l'avez sorti comment c'est connu ou vous avez vu ça en réfléchissant ?

Démonstration :

1) cas x - a b - x :

On a :
r(x) = b - x

Et en effet ]x-r(x),x+r(x)[ = ]2x-b,b[ qui est inclus dans ]a,b[ puisque 2x - b > a d'après l'inégalité du deuxième cas.

AG11235 · November 2017

millie :

Du coup on prend r(x) = min(x-a, b-x).

cela fait deux méthodes à présent.

Au fait j'ai cru mal comprendre ton précédent message : tu dis fdp souvent aux gens comme ça ?

Fin de partie · November 2017

FDP: fin de partie.

AG11235 · November 2017

Haha d'accord je me disais qu'il y avait un truc qui tourne pas rond...

Du coup Fin de partie où est la notion de réunion dans ton raisonnement ?

Amathoué · November 2017

Énorme....

Amathoué · November 2017

De toute façon quand une partie se termine mal avec quelqu'un on dit "Quelle fdp!" , ceci pour indiquer que la partie fut particulièrement rude.

millie · November 2017

Merci pour la proposition facilement démontrable en effet. Mais difficile à voir non ? Je veux dire pour moi qui ne connaît pas la technique... Vous l'avez sorti comment c'est connu ou vous avez vu ça en réfléchissant ?

Dans le cadre de cet exercice, un dessin peut te mettre sur la piste.

@gebrane : Ce bon vieux Jack Sparrow me manque un peu :-)

gebrane · November 2017

@AG11235

Je me suis intéressé à ce rayon en lisant Bruno

Bruno a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1558598,1558614#msg-1558614
il me semble que la relation sur le rayon fasse intervenir $x$.

Avec un dessin, on voit ce $r_x$

Shah d'Ock · November 2017

D'ailleurs j'ai un doute sur la correction grammaticale de cette dernière phrase, que je n'avais pas comprise au premier abord:
"il me semble que la relation sur le rayon fasse intervenir x"
ou
"il me semble que la relation sur le rayon fait intervenir x"?
Il me semble que le subjonctif est résevé au cas ou on met son propre propos en doute:
Il ne me semble donc pas que son utilisation soit adaptée ici.

Fin de partie · November 2017

AG11235:

Tu ne vois pas que : $$ ]a,b[\ =\bigcup_{x\in ]a,b[} ]x-r_x,x+r_x[\,.$$ Les $ r_x$ sont des nombres strictement positifs qui dépendent de $x$.

PS : Dans les axiomes qui définissent une topologie sur un ensemble il y a l'axiome :
Une réunion d'ouverts est un ouvert.

AG11235 · November 2017

Merci à tous, on peut le voir avec un dessin en effet.

Montrer que ]a,b[ est un ouvert de R

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