Théorème des accroissement finis

lisarowe · November 2017

Bonsoir,

On me demande de montrer que arctan(x) < x en appliquant le théorème des accroissement finis.

Et je n'ai absolument aucune idée de comment faire?

Chaurien · November 2017

Déjà énonce le théorème en question.

gerard0 · November 2017

Bonjour.

Je suppose que c'est pour x positif
Une idée : la dérivée de arctan est manifestement inférieure à M=1.
Arctan x - arctan 0 <= M(x-0)

Si tu dois obtenir une inégalité stricte, c'est plus délicat.

Cordialement.

lisarowe · November 2017

Soit f:[a,b]->R une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Alors il existe c appartenant à ]a,b[ tq :
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

lisarowe · November 2017

Merci gerard,
Et donc je fais pareil avec x et je montre que sa dérivé est égal à 1 et donc, la dérivé de arctan est plus petite ou égale à la dérivé de x donc arctan x est plus petit que x pour x >0 ?

millie · November 2017

Pour $x=0$, il y a déjà un truc qui cloche ?

edit : message croisé où lisarow nous indique $x>0$

lisarowe · November 2017

Je ne comprends pas.

gerard0 · November 2017

Lisarowe,

je n'utilisais pas le même théorème que toi, ce qui complique. Avec ton théorème c'est immédiat, ,pour f =arctan.
Et pourquoi veux-tu dériver x aussi, il y a déjà arctan. Ne copie pas la preuve de ton théorème, applique-le.

Cordialement.