convergence uniforme
dans Analyse
Bonjour,
on considère la suite de fonction $(\psi_n)$ donnée par $\psi_n(x)= \dfrac{1}{1+(nx)^2} \varphi(x)$ où $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ (on suppose que $Supp(\varphi) \subset K$ où$K$ est un compact). Je cherche à étudier la convergence uniforme de $(\psi_n)$ vers $\psi=0$ (j'avais oublié de le préciser).
En lisant le cours, il est dit qu'il faut majorer $||\psi_n||_{\infty}$ par une constante qui ne dépend pas de $x$.
Moi j'ai fait ceci:
$$||\psi_n||_{\infty}= \sup_{x \in K} |\psi_n(x)|= \sup_{x \in \mathbb{R}}|\dfrac{1}{1+n^2 x^2}|.\sup_{x \in \mathbb{R}} |\varphi(x)$$
puisque $\sup_{x \in \mathbb{R}}|\dfrac{1}{1+n^2 x^2}|=1$, alors $\sup_x|\psi_n(x)|= \sup_{x}|\varphi(x)|$.
Ma question est comment savoir si $\sup_{x}|\varphi(x)|$ dépend de $x$ ou pas?
Je repose ma question mal posée au départ, et je m'en excuse. Je vois qu'il est possible de majorer $||\psi_n||_{\infty}$ indépendemment de $x$, donc $(\psi_n)$ converge uniformément! Alors pourquoi dans mon autre fil frustrant avons nous besoin de l'hypothèse $\varphi(0)=0$ pour conclure à la convergence uniforme?
Merci par avance pour votre aide.
on considère la suite de fonction $(\psi_n)$ donnée par $\psi_n(x)= \dfrac{1}{1+(nx)^2} \varphi(x)$ où $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ (on suppose que $Supp(\varphi) \subset K$ où$K$ est un compact). Je cherche à étudier la convergence uniforme de $(\psi_n)$ vers $\psi=0$ (j'avais oublié de le préciser).
En lisant le cours, il est dit qu'il faut majorer $||\psi_n||_{\infty}$ par une constante qui ne dépend pas de $x$.
Moi j'ai fait ceci:
$$||\psi_n||_{\infty}= \sup_{x \in K} |\psi_n(x)|= \sup_{x \in \mathbb{R}}|\dfrac{1}{1+n^2 x^2}|.\sup_{x \in \mathbb{R}} |\varphi(x)$$
puisque $\sup_{x \in \mathbb{R}}|\dfrac{1}{1+n^2 x^2}|=1$, alors $\sup_x|\psi_n(x)|= \sup_{x}|\varphi(x)|$.
Ma question est comment savoir si $\sup_{x}|\varphi(x)|$ dépend de $x$ ou pas?
Je repose ma question mal posée au départ, et je m'en excuse. Je vois qu'il est possible de majorer $||\psi_n||_{\infty}$ indépendemment de $x$, donc $(\psi_n)$ converge uniformément! Alors pourquoi dans mon autre fil frustrant avons nous besoin de l'hypothèse $\varphi(0)=0$ pour conclure à la convergence uniforme?
Merci par avance pour votre aide.
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Réponses
J'arrive pas à croire que tu aies été capable de passer entre les mailles du filet de tous tes professeurs.
(Je suis délibérément méchant pour que tu te rendes compte à quel point c'est grave. Ta fac de maths est en disfonctionnement complet pour laisser aller en master des étudiants qui ne comprennent rien à ce point.
la $sup$ est un nombre indépendant de $x$! $\varphi$ est bornée sur un compact donc elle atteint ses bornes $\inf$ et $\sup$. Vous pensez que je ne sais pas ce qu'est une borne $\sup$? Mais ce que je voulez dire par mon message c'est que ya que ça pour empêcher la convergence uniforme!
Mais alors pouvez vous m'expliquer pourquoi on a besoin alors de l'hypothèse $\varphi(0)=0$ pour conclure à la convergence uniforme?!! Puisque tout marche bien sans l'hypothèse $\varphi(0)=0$ on a convergence uniforme!X:-(
Excuse-nous de te lire correctement. :-D
$$
\forall \epsilon >0, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N: n \geq n_0 => |\psi_n(x)| \leq \epsilon
$$
mais je viens de lire dans un cours qu'en pratique, si on arrive à majorer $||\psi_n||_{\infty}$ independemment de $x$, alors on a convergence uniforme.
Comment on peut penser à aller voir les cas où $x$ est proche de 0, puis où il est grand or que rien ne cloche sans l'hypothèse $\varphi(0)=0$, ou bien dites moi ce qui ne va pas sans cette hypothèse s'il vous plaît
Et puis une majoration de $||\psi_n||_\infty$ est forcément indépendante de $x$ non?
Si tu as la mauvaise définition, ne t'étonne pas de ne pas savoir faire les exercices.
Va relire ton cours de deuxième année.
Si vous voulez la définition générale, alors c'est
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0 \in \N, \forall x \in I, \forall n \geq n_0: |\psi_n(x)-\psi(x)|\leq \epsilon.
$$
Mais dans mon cas $\psi=0$! donc j'ai écris la définition selon mon cas!
Surement elle a réussie ces examens en copiant sur le voisin
En faisant disparaître un quantificateur au passage...
Mieux, déjà.
Maintenant essaye d'appliquer la définition à ta suite de fonctions...
Ma question est: je connais la définition et je vois qu'on peut majorer $|\psi_n(x)-\psi(x)|$ indépendemment de $x$ alors comment on a l'idée fabuleuse de penser qu'il faut ajouter l'hypothèse $\varphi(0)=0$ pour avoir la convergence uniforme de $(\psi_n)$ vers 0? Je cherche à voir le problème sans cette hypothèse
Es-tu d'accord que ta définition peut se réécrire ainsi $$\lim_{n\to +\infty} \left(\sup_{x\in I} |\psi_n(x)-\psi(x)| \right) =0$$
?
Oui la définition est équivalente à
$$
\lim_{n \to +\infty}\sup_x |\psi_n(x)|=0
$$
(je suis toujours dans mon cas où $\psi=0$).
édite: BobbyJoe je suis pas sure de bien comprendre votre message. Je suis d'accord que $\psi_n(0)=\varphi(0)$, c'est quoi le lien avec la convergence ponctuelle et la nécessité de l'hypothèse $\varphi(0)=0$?
Toi tu veux que ça tende vers ZERO.
Est-ce que $1. \sup_{x} |\varphi(x)|$ tend vers $0$ ? Non ça tend vers lui-même. Donc tu vois bien que sans hypothèse additionnelle, ça ne peut pas marcher.
Bib, je te conseille d’être attentive à ce que tu écris et évite le prétexte, faute de frappe, je voulais dire...
Si je deviens des fois sévère c'est que je sens que tu ne peut pas évoluer
C'est bon ,mon problème est enfin réglé, en fait c'est le cours que je viens de lire où ça dit qu'il suffit que ce soit borné indépendamment de $x$ qui m'a mélangé et induit en erreur.
Merci beaucoup à vous qui êtes resté avec moi pour m'éclairer sur ce point. C'est bon maintenant la convergence uniforme de cette suite est gravée dans ma tête.:-)
[C'était un "fake" écrit par un petit malin qui usurpait le pseudo de bibitem. AD]
@BobbyJoe
Je ne suis pas sûr que Bib va comprendre même si tu lui souffles une preuve, d'ailleurs je trouve tes indications dans la majorité des fils très puissantes et profondes et parfois j'ai du mal à suivre ton raisonnement dans l’immédiat.
Si tu veux te débarrasser de moi, tu lui rédiges une preuve avec tous les détails, car j'ai le droit de demander des explications avant l’exécution de la sentence :-X
On considère la suite de fonction $(\psi_n)$ donnée par $\psi_n(x)= \dfrac{1}{1+(nx)^2} \varphi(x)$ où $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$. Montrer que $(\psi_n)$ converge uniformément vers $\psi \equiv 0$ revient à montrer que
$$
\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \N, \forall x \in \R, \forall n \in \N: n \geq n_0 => |\psi_n(x)| < \epsilon
$$
On suppose que $\varphi(0)$. Comme $\varphi$ est continue, cela veut dire que
$$
\forall \epsilon >0, \exists \delta >0, |x| \leq \delta => |\varphi(x)| < \epsilon.
$$
Soit $\epsilon > 0$.
Si $x$ est au voisinage de 0, c'est à dire qu'on se fixe un certain $\delta >0$ tel que $|x| \leq \delta$, alors on a
$$
|\psi_n(x)| \leq 1 |\varphi(x)| < \epsilon.
$$
Si $|x| > \delta$, on a $\dfrac{1}{1+(nx)^2} \leq \dfrac{1}{1+(n \delta)^2}$. On remarque que $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{1+(n \delta)^2}=0$, ce qui veut dire que pour un certain $n_0 \in \N$ fixé, on a pour tout $n \geq n_0: |\dfrac{1}{1+(n \delta)^2}| \leq \epsilon$. Donc, $|\psi_n(x)| < 2 \epsilon$.
Ainsi on a montré que quelque soit $\epsilon > 0$, il existe un certain rang $n_0$ tel que quelque soit $x$ dans $\R$, à partir de ce $n_0$ on a $|\psi_n(x)|$ est tujours plus petit que $\epsilon$.
On conclut la convergence uniforme de $(\psi_n)$ vers $\psi=0$.
edit : Et $C^\infty$