Ce qui me dérange, c'est ça : "Donc $|\psi_n(x)| < 2 \epsilon$"
Tu es sur $|x| > \delta$, donc ton $|\psi_n(x)| \leq 1 |\varphi(x)| < \epsilon.$ ne sert pas.
On considère la suite de fonction $(\psi_n)$ donnée par $\psi_n(x)= \dfrac{1}{1+(nx)^2} \varphi(x)$ où $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$. Montrer que $(\psi_n)$ converge uniformément vers $\psi \equiv 0$ revient à montrer que
$$
\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \N, \forall x \in \R, \forall n \in \N: n \geq n_0 => |\psi_n(x)| < \epsilon
$$
On suppose que $\varphi(0)$. Comme $\varphi$ est continue, cela veut dire que
$$
\forall \epsilon >0, \exists \delta >0, |x| \leq \delta => |\varphi(x)| < \epsilon.
$$
Soit $\epsilon > 0$.
Si $x$ est au voisinage de 0, c'est à dire qu'on se fixe un certain $\delta >0$ tel que $|x| \leq \delta$, alors on a
$$
|\psi_n(x)| \leq 1 |\varphi(x)| < \epsilon.
$$
Si $|x| > \delta$, on a $\dfrac{1}{1+(nx)^2} \leq \dfrac{1}{1+(n \delta)^2}$. On remarque que $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{1+(n \delta)^2}=0$, et $\varphi$ est bornée, c'est à dire qu'il existe $M>0$ tel que quelque soit $x \in \R$, $|\varphi(x)|\leq M$, ainsi
$$
|\psi_n(x)| \leq M.|\dfrac{1}{1+(n \delta)^2}|.
$$
On remarque que $\lim_{n \to +\infty}M. \dfrac{1}{1+(n \delta)^2}=0$ ce qui veut dire qu'il existe un $n_0 \in \N$ tel que pour tout $n \geq n_0$ on a $|\psi_n(x)| \leq \epsilon$.
Ainsi on a montré que quelque soit $\epsilon > 0$, il existe un certain rang $n_0$ tel que quelque soit $x$ dans $\R$, à partir de ce $n_0$ on a $|\psi_n(x)|$ est tujours plus petit que $\epsilon$.
On conclut la convergence uniforme de $(\psi_n)$ vers $\psi=0$.
et désolée pour la petite erreur d'avant, je le savais mais je n'ai pas mentionné ce détail, je suis passé directement à la limite.
Merci beaucoup pour votre aide :-)
Je ne sais pas si tu le savais ou si c'est une excuse, mais quand tu écris une preuve, ne passe jamais des détails sous silence. Parce que même si toi tu le sais, le lecteur ne le sait pas forcément, et même s'il le sait, il ne sait pas que tu sais.
Vu qu'elle a réussi du deuxième coup, on pourrait accorder à Gébrane et Poirot une petite remise de peine. Je suggère que Poirot ne donne que la moitié de ses biens à des oeuvres caritatives. J'accepte de prendre l'aitre moitié.
Voilà, enfin une démonstration correcte ! J'espère que tu as compris la méthode cette fois. Maintenant pour le reste de l'exo qui te torture, tu as juste à remplacer $\varphi$ par certaines de ses dérivées, et la fraction rationnelle par une autre qui tend vers $0$ pour $x \neq 0$ quand $n \to +\infty$, la méthode est la même.
Comme l'a souligné Philippe Malot, le passage "On suppose que $\varphi(0)$" n'a pas de sens, je ne donnerai donc pas tous mes biens à qui que ce soit :-P
Tu n'as pas écris ça, relis bien ta démonstration et nos messages. C'est juste pour t'embêter, ce n'est pas bien grave on sait ce que tu voulais dire ! ;-)
Poirot, au sujet de votre remarque à propos de la généralisation aux dérivées d'ordre $\alpha$. J'ai compris l'idée pas de problème, mais en pratique Gebrane avait posté une preuve qui a l'air très compliquée...
Je fais une dernière tentative et dites moi si cette généralisation est bonne s'il vous plaît.
Soit $\alpha \in \N$. On a $$
\psi_n^{\alpha}(x)= \sum_{\beta \leq \alpha} C_{\alpha}^{\beta} D^{\alpha-\beta}\Big(\dfrac{1}{1+(nx)^2}\Big) D^\beta \varphi(x),
$$ où $$
D^{k}\Big(\dfrac{1}{1+(nx)^2}\Big)= \dfrac{P_k(x)}{(1+(nx)^2)^{2k}},
$$ où le degré de $P_k(x)$ en $n$ est égal à $k$.
On remarque que $\lim\limits_{n \to +\infty} D^{k}\Big(\dfrac{1}{1+(nx)^2}\Big)=0$ pour tout $x \neq 0$.
Est-ce que c'est bien votre idée? S'il vous plaît.
J'arrive en retard,
Bib tu es devenue très célèbre et tout le monde te suit. Heureusement que tu as commis la faute de frappes sur $\varphi(0)$
et ça m’apprendra de se mettre la corde au cou.
L'idée est la, mais ce n'est pas de tout la même chose. Dans le cas $\alpha=0$ tu as la facilité de borner le terme $\frac 1{1+n^2x^2}$ uniformément.
J’espère que Bobbyjoe va te filer une solution detaillée. Je connais une solution, je ne vais pas te dire plus. Je sors
Oui en fait Poirot, la difficulté de votre idée c'est de majorer $\Big|D^{\alpha-\beta}\Big(\dfrac{1}{1+(nx)^2}\Big)\Big|$ au voisinage de 0, c'est quoi votre idée sur ce point ? S'il vous plaît.
Bah justement, au voisinage de $0$ on se sert du produit avec une dérivée de $\varphi$ pour que le tout soit petit, c'est la même chose. D'où l'hypothèse $\varphi^{(\alpha)}=0$ pour tout $\alpha \geq 0$.
Au voisinage de 0, on a quelque soit $\epsilon > 0, |D^\beta \varphi(x)| < \epsilon$, ça c'est clair ce qui implique que la multiplication par $|D^{\alpha-\beta} (\dfrac{1}{(1+(nx)^2)}|$ reste plus petite que $\epsilon |D^{\alpha-\beta} (\dfrac{1}{(1+(nx)^2})|$ ça n'implique pas que le produit soit plus petit que $\epsilon$ quelque soit $\epsilon$.
non désolée mais j'ai bien compris. les dérivées sont petite ok, ais si on les multiplie par $\sup |D^k {1}{1+(nx)^2}|$ rien ne prouve que c'est plus petit que $\epsilon$! meme Gebrane l'a dit dans un de ses posts, je ne suis pas la seule à ne pas avoir compris votre dérnière idée de la multiplication! il n y a rien à dêmer, et n'y a quece point du "tout reste plus petit que $\epsilon$ après la multiplication" qui reste un mystère. Donc merci d'éclarcir votre idée sur cette multiplication qui reste pus petite que $\epsilon$, sinon tant pis. Est-ce que quelqu'un a compris pourquoi la multiplication reste plus petite que tout $\epsilon$ magrès qu'on ne sait pas majorer $D^{\alpha-\beta}(\dfrac{1}{1+(nx)^2}|$?
Car quand on a $B < \epsilon$ alors $A B$ ne reste pas plus petit que $\epsilon$ si $A>0$!
La fonction $x \mapsto 1/x$ tend vers $0$ en l'infini. Je me demande comment montrer que $x \mapsto f(x)/x$ tend vers $0$ en l'infini quand $f$ est bornée par $57$...
8-) Ok je viens à l'instant de comprendre ce que vous vouliez vraiment dire. C'est bon j'ai compris l'idée. Merci beaucoup Poirot d'être revenu pour éclaircir votre idée. Je rédige une preuve.
Ce qui est caché pour faire fonctionner la preuve est le lemme de division (je te laisse chercher). Le caractère à support compact de $\phi$ est d'ailleurs superflu... Il faut plutôt que $\phi$ appartienne à $W^{N+1,\infty}$ pour un certain $N.$ (mais soit...)
La preuve piétonne la plus rapide est la suivante écrit pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$ : $$\frac{\phi(x)}{1+(nx)^{2}}=\frac{1}{2i}(\frac{\phi(x)}{nx-i}-\frac{\phi(x)}{nx+i}).$$
Posons alors pour $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ $\displaystyle \Psi(x)=\frac{\phi(x)}{nx+i}.$ (J'omet volontairement la dépendance en $n$ pour ne pas alourdir les notations).
Par la formule de Leibniz, on a pour tout $l$ appartenant à $\mathbb{N},$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ $$\Psi^{(l)}(x)=\sum\limits_{k=0}^{l}\binom{k}{l}\phi^{(l-k)}(x)(-1)^{k}n^{k}k!\times \frac{1}{(nx+i)^{k+1}}.$$
Ici, on essaie de faire la preuve optimale, c'est à dire que pour montrer que toutes les dérivées d'ordre $l$ appartenant à $\{0,\ldots,N\}$ de $\Psi$ tendent uniformément vers zéro. Il suffit (en fait c'est aussi nécessaire) de supposer que $\phi$ est plate à l'ordre $N$ (i.e $\forall l \in \{0,\ldots,N\},$ $\phi^{(l)}(0)=0$) et de montrer que $\Psi^{(N)}$ tend uniformément par $0$ (par le théorème des accroissement finis et car $\Psi$ est aussi plate à l'ordre $N$ et à support compact). On a alors (car $\phi$ est plate à l'ordre $N$ et à support compact) que pour tout $k$ appartenant à $\{0,\ldots,N\},$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ $$\vert \phi^{(k)}(x) \vert \leq C_{N,k}\vert x \vert^{N+1-k}.$$ Ainsi, pour tout $x \neq 0$, on a en réinjectant l'estimation précédente dans la formule de Leibniz (pour $l=N$), $$\vert \Psi^{(N)}(x) \vert \leq \frac{C_{N}}{n}\sum\limits_{k=0}^{N}\frac{ \vert x \vert ^{N+1-(N-k)}}{ \vert x \vert ^{k+1}}\leq \frac{NC_{N}}{n}.$$ Cette majoration étant trivialement vraie pour $x=0,$ on a prouvé ce que l'on voulait.
Une autre preuve plus conceptuelle consiste à représenter la quantité à étudier par une intégrale (une convolée) par Fourier inverse et d'utiliser le théorème de CV dominée pour conclure et d'interpréter le caractère plat de la fonction comme le fait que les moments jusqu'à un certain ordre de sa transformée de Fourier inverse s'annulent.
Merci beaucoup BobbyJoe pour cette preuve, en fait je n'y aurais jamais pensé.
Avant de lire votre post, j'avais préparé la solution suivante (selon l'idée donnée par Poirot). Je la poste au risque de me faire taper sur les doigts, mais je souhaite savoir si elle est finalement bonne.
On considère la suite de fonctions $(\psi_n)$ donnée par $\psi_n(x)= \sum_{\beta \leq \alpha} C_{\alpha}^{\beta} D^{\alpha-\beta}(\dfrac{1}{(1-(nx)^2}) D^\beta \varphi(x).$
On a que
$$
D^k(\dfrac{1}{(1+(nx)^2})=\dfrac{P_k(x)}{(1+(nx)^2)^{2k}},
$$
où le degré en $n$ de $P_k$ est égal à $k.$
Soit $\epsilon >0$. Si $x$ et au voisinage de 0, c'est à dire qu'il existe $\delta >0$ tel que $|x| \leq \delta$. On a l'hypothèse que $\varphi^{(\beta)}(0)=0$, et puisque $D^k(\dfrac{1}{(1+(nx)^2)})$ est bornée, disons par $M$, on a
$$
|\psi_n(x)| \leq M \epsilon
$$
cette dernière inégalité est vraie pour tout $n \in \N$.
Si $|x| > \delta$, on a $\lim_{n \to +\infty} D^{\alpha-\beta}(\dfrac{1}{(1+(nx)^2)})$, et $D^\beta \varphi|$ est bornée disons par un certain $M$,alors $\lim_{n \to +\infty} (M \sum_{\beta \leq \alpha} C_{\alpha}^{\beta} |D^{\alpha-\beta} (\dfrac{1}{ (1+(nx)^2)} )|)=0$, ce qui montre qu'il existe $n_0$ fixé tel que à partir de $n_0$, on a $|\psi_n(x)| \leq \epsilon$.
On conclut alors que $(\psi_n)$ converge uniformément vers $\psi=0$.
Justement, ce n'est pas vrai car en dérivant plusieurs fois, tu fais sortir des puissances de $n$ au numérateur... Ou il faut clairement indiquer la dépendance en $n$ de ton polynôme au numérateur, il y a un truc supplémentaire à dire (c'est technique...).
Ah ok donc la méthode que j'ai écrite n'est pas correcte pour tout $\alpha \in \N$ ! Merci beaucoup BobbyJoe ! J'étudie encore votre méthode pour être sûre de comprendre toutes les étapes. Merci beaucoup :-)
Bonsoir BobbyJoe, j'ai bien compris toute la méthode, mais j'ai des diffucultés avec deux majorations:
1. Comment les accroissements finis nous donnent:
$$
|\psi^{(k)}(x)| \leq C_{N,k} |x|^{N+1-k}
$$
d'où vient la puissance de $|x|$? S'il vous plaît.
2. Comment vous obtenez l'inégalité
$$
|\psi^{(N)}(x)| \leq \dfrac{C_N}{n} \sum_{k=0}^N \dfrac{|x|^{N+1-(N-k)}}{|x|^{k+1}}
$$
c'est le dénominateur $|x|^{k+1}$ que je ne retrouve pas.
Merci par avance pour votre aide.
1) Il s'agit du lemme de division : Si $f$ est $\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et vérifie $f(0)=0$ alors, on a $\displaystyle x\mapsto \frac{f(x)}{x}=\int_{0}^{1}f'(tx)dt$ est $\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R}).$ Tu appliques ce résultat à $\phi^{(N)}$ pour en déduire, en intégrant successivement les différentes inégalités, l'inégalité voulue vu que $\phi$ est plate à l'ordre $N.$
Ai-je besoin de faire tous les détails où peux-tu y arriver toute seule?
2) Dans la somme, j'applique l'inégalité triangulaire, les constantes n'ont aucune importance. On a juste besoin d'estimer ponctuellement chaque terme de la somme. Il est bien clair que pour $x\neq 0,$ on a pour $k$ appartenant à $\{0\ldots,N\},$ $$\frac{\vert \phi^{(N-k)}(x) \vert }{\vert nx+i \vert^{k+1}}=\frac{\vert \phi^{(N-k)}(x)\vert }{\left(1+(nx)^{2}\right)^{\frac{k+1}{2}}}\leq C_{N,k}\frac{ \vert x \vert ^{k+1}}{n^{k+1}\vert x \vert ^{k+1}}\lesssim_{N,k} \frac{1}{n^{k+1}}.$$ Ce qui suffit pour conclure.
@BobbyJoe
Une coquille dans ta 1 @Bib
Il vaut mieux mieux utiliser la formule de Taylor, si $\varphi$ est plate d'ordre N alors $\varphi(x)=x^{N+1}\int_0^1 \frac {(1-t)^N}{N!}\varphi^{(N)}(tx)dt=x^{N+1} g(x)$. Maintenant si $\varphi$ est plate d'ordre N alors $\varphi^{(k)}$ est plate d'ordre $N-k$ donc il existe une fonction $h\in \C^{\infty}$ telle que $\varphi^{(k)}=x^{N+1-k} h(x)$ deplus h est bornée puisque $\varphi$ a support compact.
Je vais essayer avec Taylor-Lagrange.
Puisque $\varphi^{(l)}(0)=0$ pour tout $x \in \R$, pour tout $l \in \{1,...,n\}$ on écrit le développement de Taylor-Lagrange d'ordre $n$ par
$$
\varphi(x)= x \dfrac{\varphi^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x-\xi)^n.
$$
Ainsi, on conclut que (car $|x-\xi|^n \leq |x|^n$)
$$
|\varphi(x)| \leq C |x|^{n+1}.
$$
Ma question est: comment en déduire une majoration pour $\varphi^{(l-k)}(x)$? S'il vous plaît.
Excuses j'ai dit n'importe quoi, je pensais à autre chose 8-). En plus c'est carrément ma formule de Lagrange qui est fausse!!! Je suis bête.En fait je préfère plutôt Taylor avec reste intégrale. Il est plus simple est évident
Ok, j'ai une dérnièe question s'il vous plaît pour comprendre toutes les étapes de la preuve.
Qu'est ce qu'on utilise pour dire que
$$
\dfrac{1}{|nx+i|^{k+1}}= \dfrac{1}{ (1+(nx)^2)^{k+1/2} }
$$
Réponses
Tu es sur $|x| > \delta$, donc ton $|\psi_n(x)| \leq 1 |\varphi(x)| < \epsilon.$ ne sert pas.
$$
\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \N, \forall x \in \R, \forall n \in \N: n \geq n_0 => |\psi_n(x)| < \epsilon
$$
On suppose que $\varphi(0)$. Comme $\varphi$ est continue, cela veut dire que
$$
\forall \epsilon >0, \exists \delta >0, |x| \leq \delta => |\varphi(x)| < \epsilon.
$$
Soit $\epsilon > 0$.
Si $x$ est au voisinage de 0, c'est à dire qu'on se fixe un certain $\delta >0$ tel que $|x| \leq \delta$, alors on a
$$
|\psi_n(x)| \leq 1 |\varphi(x)| < \epsilon.
$$
Si $|x| > \delta$, on a $\dfrac{1}{1+(nx)^2} \leq \dfrac{1}{1+(n \delta)^2}$. On remarque que $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{1+(n \delta)^2}=0$, et $\varphi$ est bornée, c'est à dire qu'il existe $M>0$ tel que quelque soit $x \in \R$, $|\varphi(x)|\leq M$, ainsi
$$
|\psi_n(x)| \leq M.|\dfrac{1}{1+(n \delta)^2}|.
$$
On remarque que $\lim_{n \to +\infty}M. \dfrac{1}{1+(n \delta)^2}=0$ ce qui veut dire qu'il existe un $n_0 \in \N$ tel que pour tout $n \geq n_0$ on a $|\psi_n(x)| \leq \epsilon$.
Ainsi on a montré que quelque soit $\epsilon > 0$, il existe un certain rang $n_0$ tel que quelque soit $x$ dans $\R$, à partir de ce $n_0$ on a $|\psi_n(x)|$ est tujours plus petit que $\epsilon$.
On conclut la convergence uniforme de $(\psi_n)$ vers $\psi=0$.
La rédaction est un peu maladroite mais sauf erreur tout est juste.
Merci beaucoup pour votre aide :-)
Pourquoi $|\varphi|$ est borné ? J'ai parlé du support compact, mais ce n'était pas suffisant.
Comme l'a souligné Philippe Malot, le passage "On suppose que $\varphi(0)$" n'a pas de sens, je ne donnerai donc pas tous mes biens à qui que ce soit :-P
Je fais une dernière tentative et dites moi si cette généralisation est bonne s'il vous plaît.
Soit $\alpha \in \N$. On a $$
\psi_n^{\alpha}(x)= \sum_{\beta \leq \alpha} C_{\alpha}^{\beta} D^{\alpha-\beta}\Big(\dfrac{1}{1+(nx)^2}\Big) D^\beta \varphi(x),
$$ où $$
D^{k}\Big(\dfrac{1}{1+(nx)^2}\Big)= \dfrac{P_k(x)}{(1+(nx)^2)^{2k}},
$$ où le degré de $P_k(x)$ en $n$ est égal à $k$.
On remarque que $\lim\limits_{n \to +\infty} D^{k}\Big(\dfrac{1}{1+(nx)^2}\Big)=0$ pour tout $x \neq 0$.
Est-ce que c'est bien votre idée? S'il vous plaît.
Bib tu es devenue très célèbre et tout le monde te suit. Heureusement que tu as commis la faute de frappes sur $\varphi(0)$
et ça m’apprendra de se mettre la corde au cou.
Je te suggère de démontrer la convergence uniforme de $\psi_n^{(3)}$ pour comprendre les majorations adequates
J’espère que Bobbyjoe va te filer une solution detaillée. Je connais une solution, je ne vais pas te dire plus. Je sors
Car quand on a $B < \epsilon$ alors $A B$ ne reste pas plus petit que $\epsilon$ si $A>0$!
La preuve piétonne la plus rapide est la suivante écrit pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$ : $$\frac{\phi(x)}{1+(nx)^{2}}=\frac{1}{2i}(\frac{\phi(x)}{nx-i}-\frac{\phi(x)}{nx+i}).$$
Posons alors pour $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ $\displaystyle \Psi(x)=\frac{\phi(x)}{nx+i}.$ (J'omet volontairement la dépendance en $n$ pour ne pas alourdir les notations).
Par la formule de Leibniz, on a pour tout $l$ appartenant à $\mathbb{N},$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ $$\Psi^{(l)}(x)=\sum\limits_{k=0}^{l}\binom{k}{l}\phi^{(l-k)}(x)(-1)^{k}n^{k}k!\times \frac{1}{(nx+i)^{k+1}}.$$
Ici, on essaie de faire la preuve optimale, c'est à dire que pour montrer que toutes les dérivées d'ordre $l$ appartenant à $\{0,\ldots,N\}$ de $\Psi$ tendent uniformément vers zéro. Il suffit (en fait c'est aussi nécessaire) de supposer que $\phi$ est plate à l'ordre $N$ (i.e $\forall l \in \{0,\ldots,N\},$ $\phi^{(l)}(0)=0$) et de montrer que $\Psi^{(N)}$ tend uniformément par $0$ (par le théorème des accroissement finis et car $\Psi$ est aussi plate à l'ordre $N$ et à support compact). On a alors (car $\phi$ est plate à l'ordre $N$ et à support compact) que pour tout $k$ appartenant à $\{0,\ldots,N\},$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ $$\vert \phi^{(k)}(x) \vert \leq C_{N,k}\vert x \vert^{N+1-k}.$$ Ainsi, pour tout $x \neq 0$, on a en réinjectant l'estimation précédente dans la formule de Leibniz (pour $l=N$), $$\vert \Psi^{(N)}(x) \vert \leq \frac{C_{N}}{n}\sum\limits_{k=0}^{N}\frac{ \vert x \vert ^{N+1-(N-k)}}{ \vert x \vert ^{k+1}}\leq \frac{NC_{N}}{n}.$$ Cette majoration étant trivialement vraie pour $x=0,$ on a prouvé ce que l'on voulait.
Une autre preuve plus conceptuelle consiste à représenter la quantité à étudier par une intégrale (une convolée) par Fourier inverse et d'utiliser le théorème de CV dominée pour conclure et d'interpréter le caractère plat de la fonction comme le fait que les moments jusqu'à un certain ordre de sa transformée de Fourier inverse s'annulent.
Avant de lire votre post, j'avais préparé la solution suivante (selon l'idée donnée par Poirot). Je la poste au risque de me faire taper sur les doigts, mais je souhaite savoir si elle est finalement bonne.
On considère la suite de fonctions $(\psi_n)$ donnée par $\psi_n(x)= \sum_{\beta \leq \alpha} C_{\alpha}^{\beta} D^{\alpha-\beta}(\dfrac{1}{(1-(nx)^2}) D^\beta \varphi(x).$
On a que
$$
D^k(\dfrac{1}{(1+(nx)^2})=\dfrac{P_k(x)}{(1+(nx)^2)^{2k}},
$$
où le degré en $n$ de $P_k$ est égal à $k.$
Soit $\epsilon >0$. Si $x$ et au voisinage de 0, c'est à dire qu'il existe $\delta >0$ tel que $|x| \leq \delta$. On a l'hypothèse que $\varphi^{(\beta)}(0)=0$, et puisque $D^k(\dfrac{1}{(1+(nx)^2)})$ est bornée, disons par $M$, on a
$$
|\psi_n(x)| \leq M \epsilon
$$
cette dernière inégalité est vraie pour tout $n \in \N$.
Si $|x| > \delta$, on a $\lim_{n \to +\infty} D^{\alpha-\beta}(\dfrac{1}{(1+(nx)^2)})$, et $D^\beta \varphi|$ est bornée disons par un certain $M$,alors $\lim_{n \to +\infty} (M \sum_{\beta \leq \alpha} C_{\alpha}^{\beta} |D^{\alpha-\beta} (\dfrac{1}{ (1+(nx)^2)} )|)=0$, ce qui montre qu'il existe $n_0$ fixé tel que à partir de $n_0$, on a $|\psi_n(x)| \leq \epsilon$.
On conclut alors que $(\psi_n)$ converge uniformément vers $\psi=0$.
1. Comment les accroissements finis nous donnent:
$$
|\psi^{(k)}(x)| \leq C_{N,k} |x|^{N+1-k}
$$
d'où vient la puissance de $|x|$? S'il vous plaît.
2. Comment vous obtenez l'inégalité
$$
|\psi^{(N)}(x)| \leq \dfrac{C_N}{n} \sum_{k=0}^N \dfrac{|x|^{N+1-(N-k)}}{|x|^{k+1}}
$$
c'est le dénominateur $|x|^{k+1}$ que je ne retrouve pas.
Merci par avance pour votre aide.
Ai-je besoin de faire tous les détails où peux-tu y arriver toute seule?
2) Dans la somme, j'applique l'inégalité triangulaire, les constantes n'ont aucune importance. On a juste besoin d'estimer ponctuellement chaque terme de la somme. Il est bien clair que pour $x\neq 0,$ on a pour $k$ appartenant à $\{0\ldots,N\},$ $$\frac{\vert \phi^{(N-k)}(x) \vert }{\vert nx+i \vert^{k+1}}=\frac{\vert \phi^{(N-k)}(x)\vert }{\left(1+(nx)^{2}\right)^{\frac{k+1}{2}}}\leq C_{N,k}\frac{ \vert x \vert ^{k+1}}{n^{k+1}\vert x \vert ^{k+1}}\lesssim_{N,k} \frac{1}{n^{k+1}}.$$ Ce qui suffit pour conclure.
Une coquille dans ta 1
@Bib
Il vaut mieux mieux utiliser la formule de Taylor, si $\varphi$ est plate d'ordre N alors $\varphi(x)=x^{N+1}\int_0^1 \frac {(1-t)^N}{N!}\varphi^{(N)}(tx)dt=x^{N+1} g(x)$. Maintenant si $\varphi$ est plate d'ordre N alors $\varphi^{(k)}$ est plate d'ordre $N-k$ donc il existe une fonction $h\in \C^{\infty}$ telle que $\varphi^{(k)}=x^{N+1-k} h(x)$ deplus h est bornée puisque $\varphi$ a support compact.
Puisque $\varphi^{(l)}(0)=0$ pour tout $x \in \R$, pour tout $l \in \{1,...,n\}$ on écrit le développement de Taylor-Lagrange d'ordre $n$ par
$$
\varphi(x)= x \dfrac{\varphi^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x-\xi)^n.
$$
Ainsi, on conclut que (car $|x-\xi|^n \leq |x|^n$)
$$
|\varphi(x)| \leq C |x|^{n+1}.
$$
Ma question est: comment en déduire une majoration pour $\varphi^{(l-k)}(x)$? S'il vous plaît.
Qu'est ce qu'on utilise pour dire que
$$
\dfrac{1}{|nx+i|^{k+1}}= \dfrac{1}{ (1+(nx)^2)^{k+1/2} }
$$