Fonctions continues et images d'intervalles.

Bonsoir,
après avoir contemplé deux deux fameux théorèmes sur les fonctions continues :
*l'image d'un connexe est un connexe . (intervalle sur $\mathbb{R}$ )
*l'image d'un compact est un compact. (fermé borné. sur $\mathbb{R}$)

je me suis interrogé sur une chose : si une fonction vérifie ces deux (ou l'une) propositions, est-elle pour autant continue ?
ma réponse intuitive est non ! car si ça existait, enfin ça se saurait ! (ou alors mon cursus scolaire est douteux).
et pour corroborer mon "intuition", j'ai utilisé cette fonction (donc sur $\mathbb{R}$ ) :
$f: x \mapsto |sin(\frac{1}{x})|$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$.
déjà est-ce un bon contre-exemple ? et ensuite cela me semble un peu tricher, car cette fonction est continue partout sauf en 0, donc a-t-on un théorème plus faible dans le genre si $f$ vérifie ces propriétés alors elle est discontinue sur maximum un nombre dénombrable de points ?
Pour la compacité non car la fonction caractéristique de $\mathbb{Q}$ est un contre-exemple très simple.
mais pour le fait que f conserve la connexité ? (et particulièrement dans le contexte de $\mathbb{R}$)