Développement asymptotique
Bonjour tout le monde
Pourriez-vous m'aider svp, j'ai fait un exercice de développement asymptotique et je bloque.
f(x)= exp(2x/x^2-1).
la question : déterminer le développement asymptotique à la précision 1/x^2 au voisinage de +l'infini.
Au début j'ai traité l'exposant de l'exponentiel : 2x/x^2-1 et j'ai trouvé un Dl au voisinage de +l'infini = 2/x(1+1/x^2+o(1/x^2))
DL=2/x+2/x^3+o(1/x^3)
Vu que l’exercice me demande juste à la précision 1/x^2, j'ai pris juste le terme (2/x) de mon DL, pour ensuite faire le dl de l’exponentielle en 0.
Mais dans le corrigé, ils ont pris tout le terme du premier DL=2/x+2/x^3+o(1/x^3) pour la fonction exp,
pour avoir exp(2x/x^2-1)= 1+2/x+2/x^2+10/3x^3+o(1/x^3).
Après ils ont multiplié par x pour avoir la précision demandé 1/x^2.
Ma question est : pourquoi on a pris tout les termes du premier dl même s'ils dépassent la précision demandée ?
sSi on prend juste le terme 2/x, quand on ferra le dl de l'exponentielle on peut obtenir également une précision 1/x^2.
Merci d'avance.
Pourriez-vous m'aider svp, j'ai fait un exercice de développement asymptotique et je bloque.
f(x)= exp(2x/x^2-1).
la question : déterminer le développement asymptotique à la précision 1/x^2 au voisinage de +l'infini.
Au début j'ai traité l'exposant de l'exponentiel : 2x/x^2-1 et j'ai trouvé un Dl au voisinage de +l'infini = 2/x(1+1/x^2+o(1/x^2))
DL=2/x+2/x^3+o(1/x^3)
Vu que l’exercice me demande juste à la précision 1/x^2, j'ai pris juste le terme (2/x) de mon DL, pour ensuite faire le dl de l’exponentielle en 0.
Mais dans le corrigé, ils ont pris tout le terme du premier DL=2/x+2/x^3+o(1/x^3) pour la fonction exp,
pour avoir exp(2x/x^2-1)= 1+2/x+2/x^2+10/3x^3+o(1/x^3).
Après ils ont multiplié par x pour avoir la précision demandé 1/x^2.
Ma question est : pourquoi on a pris tout les termes du premier dl même s'ils dépassent la précision demandée ?
sSi on prend juste le terme 2/x, quand on ferra le dl de l'exponentielle on peut obtenir également une précision 1/x^2.
Merci d'avance.
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Réponses
D'après ton énoncé je dirais que vous avez, toi et ton corrigé, faux tous les deux.
$$e^{\frac{2x}{x^2}-1}=\dfrac1e\,e^{\frac2x}\underset{x \to+\infty }{\quad=\quad}\dfrac1e\Bigl(1+\dfrac2x+\dfrac2{x^2}+o(x^{-2})\Bigr)$$
Non le corrigé est juste, faute sur ta fonction !