Épigraphe

Playa
Playa
dans Analyse
Bonsoir,

Soit $X$ un normé sur $\mathbb{R}$.
Soit la fonction $f_E(x)=\inf \{t \in \mathbb{R} : (x,t) \in E\}$ ($x \in X$ et $E \subset X \times \mathbb{R}$).

- Si $E$ est fermé, est-il vrais que $\mathrm{epi}(f_{E})=E$ ?

Merci.

Réponses

  • Playa
    Playa
    J'ai été trop rapide : C'est complètement faux !
  • Poirot
    Poirot
    Il manque certainement des hypothèses sur $E$. Un épigraphe contient des demi-droites verticales au dessus de tout point !
  • Playa
    Playa
    @Poirot : Merci. Oui, il doit avoir une structure d'épigraphe.
    Cas où ça marche bien: $E= \mathrm{cl} \; \mathrm{epi} (h)$ avec $h : X \mapsto \bar{\mathbb{R}}$.

    D'ailleurs quelqu'un en a-t-il une preuve rapide ?
    j'en avais fait une mais un peu longue et un peu compliquée. Dans certains bouquins, c'est paraît-il immédiat.

    Merci.
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