Limite d'une suite
Réponses
-
Qu'as-tu essayé?
-
Une première idée est de mettre en facteur le terme qui croît le plus vite, au numérateur et au dénominateur, ici : $4^n$.
-
J'ai essayé de factoriser plusieurs factorisations, par exemple $\frac{3^n}{4^n}$ mais je n'aboutis à rien d'exploitable
-
En factorisant par $\frac{4^n}{4^n}$ on obtient alors $\quad\dfrac{(\frac{3}{4})^n +1}{1+\frac{n^4}{4^n}}$
$(\frac{3}{4})^n$ tend vers 0.
Je suis tenté de dire que $\frac{n^4}{4^n}$ tend vers 0... -
Si tu es tenté de le dire, il ne te reste qu'à le prouver...
-
J'obtiens bien par récurrence que $n^4<4^n$ et donc $\frac{n^4}{4^n}<1$... la quête se poursuit...
-
Si tu connais la fonction logarithme et un résultat sur les croissances comparées tu peux t'en servir pour calculer cette limite.
-
Je ne dois pas utiliser le logarithme pour cet exercice car on ne l'a pas encore vu (terminale S)
-
Je suis de nouveau bloqué
-
Tu as montré $n^4<4^n$ (pour quelles valeurs de $n$ au passage?), mais ça ne suffit pas de conclure car tout ce que tu peux en déduire c'est que le rapport est borné par $1$. Si tu pouvais majorer $n^4$ par quelque chose qui, divisé par $4^n$, tend vers 0, alors...
-
Bonsoir Iotala
Montre par récurrence que si $n\geq 5$ alors $\dfrac{n^4}{4^n} \leq (0,9)^n$.
Alain -
Pour être un peu plus précis que Shah, tu peux essayer de montrer que $n^4 < 3^n$ par exemple (pour $n \geq 8$).
-
Sinon si on pose $U_{n}=\frac{n^4}{4^n}$
Alors on peut regarder le quotient $\frac{U_{n+1}}{U_{n}}$
Et on peut alors le majorer et conclure. -
Je viens de me rendre compte que je n'arrive pas en fait à montrer par récurrence que $n^4<4^n$ (ni $n^4<3^n$ et non plus $\frac{n^4}{4^n}<(0,9)^n$). Je suis bloqué par $(n+1)^4$ : une fois développé, je n'arrive pas en tirer quoi que ce soit.
Concernant $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ j'obtiens : \begin{align*}
\dfrac{U_{n+1}}{U_n}&=\frac{\frac{(n+1)^4}{4^{n+1}}}{\frac{n^4}{4^n}}\\
&=\frac{1}{4} \frac{(n+1)^4}{n^4}\\
&=\frac{1}{4} \frac{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}{n^4}
\end{align*} Ce qui tend vers $\frac{1}{4}$ et donc $U_n$ décroissante...
et je n'arrive tout de même pas à conclure
Quelque soit la solution finale, il me semble qu'elle sera bien compliquée pour un exercice sur 2 points.
Je vais me reposer, je tacherai d'y voir plus clair demain.
Je vous remercie tous de votre aide.
Bonne nuit -
Re-bonsoir Iotala
Tu as $\dfrac{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}{n^4}=1+4\dfrac1n+6\dfrac1{n^2}+4\dfrac1{n^3}+\dfrac1{n^4}$
Tu majores brutalement $\dfrac1{n^k}\leq \dfrac1n$ pour $k\geq 1$, cela te donne
$\dfrac 1 4\dfrac{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}{n^4} \leq \dfrac14 (1+15\dfrac1n)$
et tu voudrais $\dfrac14 (1+15\dfrac1n)\leq 0,9.$ Tu résous en $n$ pour obtenir $n\geq \dfrac{15}{2,6}=5,76...$
Alors pour $n\geq 6$ l'hérédité de ta récurrence va marcher.
Alain -
Merci beaucoup AD de ton aide, tu as éclairé ma journée et aussi merci à tous ceux qui ont tenté de me mener à bon port....
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres