Limite de $n!^{1/n}$

Un bon réflexe à avoir c'est de penser que prendre le log aidera à y voir plus clair dans ce genre d'expressions (*):
le log vaut $$\frac{\log 1+\log 2+\log 3+\cdots+ \log n}{n}.
$$ Or dans la somme, au moins $(n-1)/2$ termes dépassent $\log(n/2)$. Finalement, le $\log$ dépasse

$\dfrac{n-1}{2n}\log(n/2)$, qui a une limite infinie en l'infini. Il ne te reste plus qu'à prendre l'exponentielle.

(*) ici ce n'est pas nécessaire, mais ça aide quand même à voir, je trouve.

Bonjour @alea.
Tu peux aussi imiter la démonstration de la moyenne de Cesàro.

Soit $A>0$. Il existe $p$ tel que $n>p\implies\log p>A+1$ (merci d'avoir résisté à l'affreux $\ln$) .
Alors $\dfrac{\log2+\cdots+\log n}n>\dfrac{\log2+\cdots+\log p}n+\dfrac{n-p}n(A+1)$.
Pour $n>q$ on a $\dfrac{\log2+\cdots+\log p}n+\dfrac{-p}nA>-1$.

Je ne sais pas si ça va convenir mais tous cela me rappel ceci :
$$\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\geq \frac{4^n}{2n+1}$$
Ou encore :
$$(2n)!\geq \frac{4^n}{2n+1}(n!)^2$$
Maintenant on passe à la puissance voulue :
1)$$[(2n)!]^{\frac{1}{2n}}\geq [\frac{4^n}{2n+1}]^{\frac{1}{2n}}(n!)^{\frac{1}{n}}$$
En réitérant le processus on trouve :
2)$$[(n)!]^{\frac{1}{n}}\geq [\frac{4^{\frac{n}{2}}}{n+1}]^{\frac{1}{n}}((\frac{n}{2})!)^{\frac{2}{n}}$$

Du coup en remplaçant dans 1 l'inégalité 2 on finit par trouver une sorte de récurrence qui amène au résultat .
Ps : La méthode de Sha me semble la plus adéquate .Peut-être ai-je déliré mais je n'ai pas le temps de savoir ou...
PPs : je n'ai rien inventé regardez par ici https://pdfs.semanticscholar.org/6760/37ceea913873570659bd77eb833515b6588a.pdf

Shah d'Ock a écrit:

Ça revient exactement à ce que j'ai proposé

C'est exact, mais comment définis-tu, en terminale (ou même L1), $\left( 5/2 \right)!$ (dans le cas où $n$ est impair) ?

Oui, c'est bien ainsi que je l'avais compris, et mon message était quelque peu taquin...Ceci dit, parler en même temps de partie entière et de factorielle à des lycéens d'aujourd'hui, j'imagine aisément que ça ne doit pas si simple que ça.