Relation d'ordre dans les nombres premiers

Bonjour, j'ai découvert un ordre relatif au sein des nombres premiers est ce trivial ou bien faux ?

Avec l'hypothèse de départ selon laquelle on peut toujours trouver au moins un couple de premiers (p, p') tel que :

x^2 < p < xy < p' < y^2 où (x, y) est un couple d'entiers naturels avec y > x, je suis arrivé aux relations suivantes :


(3k -1)^2 < p1 < (3k -1).3k < p2 < (3k)^2 < p3 < 3k(3k+1) < p4 < (3k +1)^2

Et

(3k+1)^2 < p5 < (3k+1)(3k+2) < p6 < (3k+2)^2 où (p1, p2, p3, p4, p5, p6) sont des premiers


On découvre qu'il y a un comportement différencié au sein des nombres premiers régi par deux types de relations selon la valeur de k modulo 3


Mais il faut vérifier si l'on peut effectivement toujours trouver ces nombres premiers pour toutes les valeurs de k.


A.N


Vérifions que la relation est vraie pour k = 1

4 < p1 < 6 < p2 < 9 < p3 < 12 < p4 < 16 on a deux couples de jumeaux (5, 7) (11, 13)

Et

16 < p5 < 20 < p6 < 25 on a le couple +/-3 (17, 23) + 1 singleton (19)



Si k = 2

25 < 29 < 30 < 31 < 36 < 41 < 42 < 43 < 49 deux couples de jumeaux (29, 31) (41, 43) + 2 singletons (37), (47)

Et

49 < 53 < 56 < 59 < 64 un couple +/-3 (53, 59) + 2 singletons (51), (61)



Avec ces deux exemples on constate que l'on obtient bien les couples de (p, p') attendus et l'on remarque l'apparition de singletons de part et d'autres qui apparaissent quand k augmente.


Pour trouver les couples qui nous intéressent, il convient de se focaliser sur les facteurs (3k-1)3k, 3k(3k+1) et (3k+1)(3k+2) puis de chercher de part et d'autre le premier qui se trouve à une distance impair du produit puis vérifier que l'autre moitié de la paire se trouve bien de l'autre coté.


On remarquera que (3k-1)3k, 3k(3k+1) sont des multiples de six quelque soit k, on peut s'attendre à trouver des jumeaux autour de ces nombres là mais il ne faut pas oublier la possibilité de trouver d'autres types de paires, quant à (3k+1)(3k+2) il n'est jamais un multiple de six ainsi on cherchera des paires plus lâches comme les +/- 3 et plus.


On peut s'interroger sur ce qu'il se passe quand k augmente notamment si le schéma au moins 2 paires + une paire de nombres premiers perdure et même se renforce avec k. Enfin, il convient de voir ce qu'il se passe pour le nombres de paires de jumeaux lorsque k tend vers l'infini.

Selon mes propres observations on obtient de plus en plus de paires de premiers quand k augmente avec la première relation dont des jumeaux et seulement mais au moins une paire avec la seconde relation. (pas encore de simulations numériques suffisamment poussées pour prouver ces observations).


Emphyrion