Contre-exemple et Transformée de Fourier

Bonjour,

je cherche un exemple le plus marquant possible de catastrophe engendrée par l'utilisation de la transformée de Fourier d'une fonction de $L^2$ comme si elle était dans $L^1$ : je travaille en effet avec des physiciens, lesquels ne manquent pas d'utiliser copieusement ce genre d'abus ; s'il y a quelques points de divergence, cela ne suffit pas à les perturber (surtout que reprenant la transformée de Fourier inverse, ils finissent à un moment donné par retomber sur leur pattes...).

Par exemple pour $f: x\mapsto \frac{1}{x}1_{]-1,1[}(x)$, "définir" (et travailler avec!)
\[F(f)(y) "= " \int_\R e^{i yx} f(x) d x\]
ne leur pose pas de problèmes(!), du fait que c'est la plupart du temps une intégrale impropre ($\int \frac{\cos(x)}{x}dx$ et $\int \frac{\sin(x)}{x}dx$, si $y\neq 0$) et même pour $y= 0$, en faisant une "limite symétrique" : $F(f)(0) " = " \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-n}^nf(x) dx$ ).

Bref, je cherche une fonction de $L^2$, la plus simple possible dont, malgré ce genre de petites "astuces", la transformée de Fourier au sens de $L^1$ n'aurait aucun sens, (même pas en temps qu'intégrale impropre sur le complémentaire d'un ensemble localement fini, ni avec des "propriétés" de symétrie), au moins sur un ensemble dense de $\R$....