Linéarisation d'une fonction au premier ordre

Bonjour,

Je suis un étudiant en ingénierie et j'ai un peu de mal avec la notion d'approximation affine d'une fonction dépendant de deux autres fonctions.

Je sais que étant donné une fonction dérivable $f$ d'une variable réelle, et un réel $a$, la fonction $\epsilon$ définie par : pour tout $x \neq a$, $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)\epsilon(x)$ vérifie $lim \epsilon (x)=0$ quand x tends vers a ce qui pour un ingénieur comme moi devient : $f(x)\simeq f(a)+f'(a)(x-a)$ mais dans mon cas j'ai une fonction qui dépends de deux autres fonctions et je ne sais pas quoi faire.

J'ai $X=X_0+\Delta X(t)$ que j'écris $X=X_0+\Delta X$, $u(t)=u_0+\Delta u(t)$ que j'écris $u=u_0+\Delta u$ (ce sont deux approximations des fonctions u et X autour d'un point d'équilibre, le but étant de mon "projet" étant de linéariser des equations différentiels non linéaires) et j'ai une fonction $\delta_e$ que je ne connais pas or je sais que ma fonction $X$ ne dépend que de $u$ et $\delta_e$ donc je souhaite linéariser ça grâce à une approximation du 1er ordre mais je ne sais pas comment faire ça.

Sur internet j'ai trouvé que $\Delta X(t)=\frac{\partial X}{\partial u} \Delta u +\frac{\partial X}{\partial \delta_e} \delta_e$, je ne sais pas si cela est juste et si oui je ne comprend pas pourquoi. Je ne comprend pas pourquoi quand on linéarise $\Delta X(t)$ (et non pas $X$) alors les dérivées partielles sont celles de $X$ plutôt que de $\Delta X$, je ne comprend pas non plus pourquoi les dérivées partielles se font par rapport à $u$ mais que le terme qui multiplie la dérivée partielle est $\Delta u$ plutôt que $u$. Pourquoi est-ce comme ça (si ce que j'ai trouvé est juste).

Aussi quelle est la différence entre linéariser $X$ et $\Delta X$ ? Sur internet seulement $\Delta X$ est linéarisé, est-ce parce que puisqu'on sait que $X_0$ est constant il est plus simple de faire comme ça ?