Résidu

Hypothèses sur $a$ et $n$ ?

C'est sans doute plus facile (pour éviter des considérations de détermination du logarithme) de considérer un autre contour dans mon souvenir, qui est pour $R\gg1,$ $$\Gamma_{R}=[0,R]\cup A_{\frac{2\pi}{n}} \cup [Re^{i\frac{2\pi}{n}},0] \mbox{ avec } A_{\frac{2\pi}{n}}=\{Re^{i\theta};\theta \in [0,\frac{2\pi}{n}]\}.$$
Pour $R\gg1,$ ce contour n'englobe qu'un seul zéro de $1+z^{n}$ à savoir $\omega= e^{i\frac{\pi}{n}}.$
Ainsi, par le théorème des résidus, il vient $$ \int_{0}^{R}\frac{x^{a}}{1+x^{n}}dx+\int_{0}^{\frac{2\pi}{n}}\frac{R^{a}e^{ia\theta}}{1+R^{n}e^{in\theta}}\times iRe^{i\theta}d\theta-e^{i(a+1)\frac{2\pi}{n}}\int_{0}^{R}\frac{x^{a}}{1+x^{n}}dx=2i\pi \frac{e^{i\frac{a\pi}{n}}}{ne^{\frac{i\pi}{n}(n-1)}}.$$ Pour calculer le résidu, j'ai essentiellement écrit $$\frac{z^{a}}{1+z^{n}}=\frac{1}{z-\omega}z^{a}\frac{z-\omega}{z^{n}+1}.$$
Ensuite, pour $-1<a<n-1$ on conclut lorsque $R$ tend vers $+\infty$ (l'intégrale du milieu tend vers zéro lorsque $R$ tend vers $+\infty$ par CV dominée) que $$ (1-e^{i(a+1)\frac{2\pi}{n}})\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{a}}{1+x^{n}}dx=-2i\pi e^{i\frac{\pi}{n}(a+1)}.$$ D'où l'on tire que $$\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{a}}{1+x^{n}}dx=\frac{\pi}{n\sin(\frac{\pi}{n}(a+1))}.$$
Au moins cette formule est cohérente avec ce qu'il se passe lorsque $n$ tend vers l'infini (par CV dominée à nouveau).
J'ai aussi passé sous silence ce qu'il se passait au voisinage de zéro ... Techniquement, il faut prendre le contour du début mais le raboter un peu au voisinage de $0$ en ajoutant un arc de longueur comparable à $\varepsilon$ puis faire tendre $\varepsilon$ vers $0$ (c'est là que la condition $a+1>0$ sert par CV dominée de nouveau).

Exact, c'est le bon contour... mais il faut évider une partie au voisinage de zéro (en faisant un arc de cercle de rayon $\varepsilon$ dont le centre est $0$ délimité par les deux droites que tu as tracé) pour des raisons techniques car $z \mapsto z^{a}$ n'est pas holormophe dans un voisinage de $0.$

$n$ est fixé.... C'est $R$ qui tend vers l'infini... Dans ce cône tronqué, il y a justement peu de zéros de $z^{n}+1.$ Il ne faut pas perdre de vu que le contour dépend de $n.$

Je te conseille de déterminer les zéros de $z^{n}+1$ et tu comprendras que non justement. L'autre singularité de l'intégrande est $0$ mais ce n'est pas un pôle, c 'est une singularité essentielle, c'est pour ça qui faut l'éviter!

Certes et alors? le cône infini (qui dépend de $n$) ne contient qu'un seul zéro de $z^{n}+1.$ Ne le vois-tu vraiment pas?
Je te rappelle que $n$ est fixe et que le contour dépend de ce $n.$ C'est $R$ qui tend vers l'infini!

Justement, c 'est plus technique (mais aussi plus rapide) de procéder comme dans les notes que tu as trouvées mais il faut parler de détermination du logarithme.... Il faut s'en fixer une et vu que les contours tournent autour des singularités et bien, il y a ce qu'il s'appelle de la monodromie. Ces constantes qui apparaissent sont le reflet du fait que le logarithme (lié au choix de l'argument d'un nombre complexe) est discontinu lorsque tu fais des tours.

Cherche donc ces mots-clefs :

-Détermination principale du logarithme.
-Principe de Monodromie.

Ce que je trouve sympa, c'est que tu n'as pas lu mes précédents messages.... Soit.... Je t'ai déjà que pour calculer ton intégrale de départ que tu peux évider un morceau en évitant de passer par zéro... Avec un contour du type $$\Gamma_{R,\varepsilon}=[\varepsilon,R] \cup A^{+}_{\frac{2\pi}{n}}(R)\cup [Re^{i\frac{2\pi}{n}},\varepsilon e^{i\frac{2\pi}{n}}]\cup A^{-}_{\frac{2\pi}{n}}(\varepsilon)$$ avec $A^{+}_{\frac{2\pi}{n}}(R)=\{Re^{i\theta};\theta \in [0,\frac{2\pi}{n}]\}$ et $A^{-}_{\frac{2\pi}{n}}(R)=\{\varepsilon^{i\theta};\theta \in [\frac{2\pi}{n},0]\}$ avec des notations abusives pour comprendre que le dernier ensemble est parcouru à l'envers (dans le sens inverse trigonométrique)....
Enfin, j'ai enfin compris ta question d'il y a une semaine.... OO les constantes qui sortent de l'intégrale sont dues au choix de la paramétrisation de l'intégrale curviligne (ici des cercles et des droites).
Bonne chance!

Moi, je te dis que j'ai écrit une ébauche de preuve et qu'il faut techniquement éviter zéro si tu veux calculer ton intégrale initiale...
Mais je t'ai déjà tout expliqué....

Enfin, si les contours changent et tes intégrales aussi, bien sûr que les contributions de zéro peuvent être importantes...
En particulier si tu tournes autour de zéro et qu'il y a une singularité essentielle (ou moins pire un pôle en zéro).

$z^{a}$ pour a non entier comme dans l'exemple du début....