Problème d'optimisation
On se donne un quotient de type Rayleigh (la source de ce problème est l'analyse discriminante de Fisher): $r(w)=(w^tAw)/(w^tBw)$ et on cherche $w$ qui maximise $r(w)$. Malheureusement je n'ai pas les hypothèses exactes ni les étapes qui mène aux résultats suivants:
La solution optimale de ce problème est donnée par $w=B^{-1}(\mu_1-\mu_2)$ en notant que $A=(\mu_1-\mu_2)(\mu_1-\mu_2)^t$.
Pensez vous pouvoir prouver ce résultat en rajoutant les hypothèses qui vous paraissent judicieuses ?
Merci d'avance pour votre aide en espérant que le problème interessera quelqu'un.
La solution optimale de ce problème est donnée par $w=B^{-1}(\mu_1-\mu_2)$ en notant que $A=(\mu_1-\mu_2)(\mu_1-\mu_2)^t$.
Pensez vous pouvoir prouver ce résultat en rajoutant les hypothèses qui vous paraissent judicieuses ?
Merci d'avance pour votre aide en espérant que le problème interessera quelqu'un.
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Réponses
Comment peut on prouver l'équivalence des deux problèmes suivants: $max_w (w^tAw)/(w^tBw)$ (1) est équivalent à $max_w (w^tAw)$ tel que $(w^tBw)=1$ (2) ?
Est ce le fait de pouvoir écrire$ (w^tAw)/(w^tBw)=((w^tAw)\|(w^tBw)\|)/((w^tBw)\|(w^tBw)\|)$ ?
https://snag.gy/czB9uJ.jpg
Plusieurs problèmes:
1) Est ce que le point critique de mon lagrangien sera bien un extremum du problème primale ?
2) Quel vecteur et valeur propre choisir ? Pourquoi ?
Dans un autre fil que tu avais publié sur la même relation, on avait donné une démonstration complète (en trois lignes) du résultat. As-tu oublié ?