Théorème de recollement
dans Analyse
Bonjour, j'ai le théorème suivant.
Soient $(\Omega_j)_{j \in J}$ des ouverts deux à deux disjoints. On pose $\Omega=\bigcup_{j \in J} \Omega_j$. Soit $T_j \in \mathcal{D}'(\Omega_j)$ tel que $T_{i_{|\Omega_j \cap \Omega_i}}= T_{j_{|\Omega_j \cap \Omega_i}}$, c'est-à-dire que $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega_i \cap \Omega_j),\ <T_i,\varphi>\,=\,<T_j,\varphi>$. Alors il existe un unique $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ tel que $\forall j \in J,\ T_{|\Omega_i}= T_i$.
J'ai une question un peu bête. Ce théorème s'appelle "théorème de recollement", c'est quoi son utilité ?
Merci par avance pour votre aide.
Soient $(\Omega_j)_{j \in J}$ des ouverts deux à deux disjoints. On pose $\Omega=\bigcup_{j \in J} \Omega_j$. Soit $T_j \in \mathcal{D}'(\Omega_j)$ tel que $T_{i_{|\Omega_j \cap \Omega_i}}= T_{j_{|\Omega_j \cap \Omega_i}}$, c'est-à-dire que $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega_i \cap \Omega_j),\ <T_i,\varphi>\,=\,<T_j,\varphi>$. Alors il existe un unique $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ tel que $\forall j \in J,\ T_{|\Omega_i}= T_i$.
J'ai une question un peu bête. Ce théorème s'appelle "théorème de recollement", c'est quoi son utilité ?
Merci par avance pour votre aide.
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Réponses
Bien sûr la notion de faisceau dépasse largement ton cours et tu n'as aucun intérêt à voir ça maintenant. Mais le fait que les distributions se recollent ouvrent la porte à une vaste matière qu'on appelle l'analyse algébrique. (Qui précisément aide à résoudre des problèmes profonds d'analyse avec la théorie des faisceaux.)
Dans le contexte de ton cours, le théorème de recollement ne te sera probablement pas utile.
Soit $X$ un espace topologique. Un faisceau $F$ sur $X$ est une application qui à chaque ouvert $U$ de $X$ associe un groupe abélien $F(U)$. Cette application doit vérifier plusieurs axiomes.
Pour toute paire $U \subset V$ il faut une application dite de restriction $r_{U,V} : F(V) \to F(U).$ Cette application doit vérifier des propriétés naturelles, à savoir $r_{U,U} = id$ et $r_{W,V} \circ r_{V,U} = r_{W,U}$ si $U \subset V \subset W.$ Enfin il faut que le faisceau vérifie une condition de recollement à savoir : Si $\cup_{i\in I} U_i = U$ est un recouvrement ouvert et si $s_i \in F(U_i)$ vérifient $$r_{U_i \cap U_j, U_i} (s_i) =r_{U_i \cap U_j, U_j} (s_j)$$ alors il existe $s \in F(U)$ tel que $r_{U_i, U}(s) = s_i.$
Concernant les distributions, dans ton précédent fil je t'avais expliqué comment on pouvait restreindre les distributions. Et là tu viens de voir le recollement, donc les deux mis ensemble ça permet de dire que l'application $\mathcal{D}' : \Omega \subset \R^n \mapsto \mathcal{D}'(\Omega)$ est un faisceau.
Si tu as des fonctions $C^\infty_c$ constantes $=1$ sur $(a,b)$ et $(c,d)$ alors tu peux les utiliser pour recoller deux distributions qui sont égales sur $(a,b) \cap (c,d)$ c'est évident.
Le théorème dit que la même chose marche en général.
Soit $T\in D'(\Omega)$ où $\Omega$ est un ouvert de $\R^n$.On note $\Omega'=\Omega \setminus \mathrm{Supp\,}T$ et $S=T|_{\Omega'}$ Montrer que $S=0$ dans $D'(\Omega')$
Des ouverts deux à deux disjoints ? Ainsi énoncé, le théorème est évident.
Soit $(\Omega_j)_{j \in J}$ des ouverts, et soit $T_j \in \mathcal{D'}(\Omega_j)$ pour tout $j \in J$.
On suppose que pour tout $,i$ on a $T_i=T_j$ sur $\Omega_i \cap \Omega_j$ lorsque $\Omega_i \cap \Omega_j=\emptyset$. Alors, il existe $T \in \mathcal{D}(\Omega)$ tel que la restriction de $T$ à $\Omega_j$ est $T_j$.
C'est ça le bon énoncé du théorème ?
Ne vois-tu pas une condition nécessaire lorsque $\Omega_i\cap \Omega_j\neq \emptyset$?
Soit $(\Omega_j)_{j \in J}$ des ouverts. On pose $\Omega= \bigcup_{j \in J}\Omega_j$. Soit $T_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ pour tout $j \in J$. Si $T_i \in \mathcal{D'}(\Omega_i)$ et $T_j \in \mathcal{D'}(\Omega_j)$ tel que $T_{i_{\Omega_i \cap \Omega_j}}= T_{j_{\Omega_i \cap \Omega_j}}$. Alors il existe $T \in \mathcal{D'}(\Omega)$ tel que $T_{|\Omega_j}= T_j$.
Pour être plus précis, tu devrais dire "Supposons que pour tout $i,j$ on a $T_{i_{\Omega_i \cap \Omega_j}}= T_{j_{\Omega_i \cap \Omega_j}}$." Tu n'as pas mis le quantificateur pour tout.
Merci infiniment :-)
Peut-être que quand on est amené à parler de distributions, plus tard, donc, ce genre de choses peut être implicite ? Parce qu'au fond, il n'y a pas d'autre sens possible...