Théorème de recollement

Il permet de recoller :-D sauf avis contraire de Fred

L'utilité c'est que ça fait des distributions un faisceau (je te l'avais déjà expliqué).
Bien sûr la notion de faisceau dépasse largement ton cours et tu n'as aucun intérêt à voir ça maintenant. Mais le fait que les distributions se recollent ouvrent la porte à une vaste matière qu'on appelle l'analyse algébrique. (Qui précisément aide à résoudre des problèmes profonds d'analyse avec la théorie des faisceaux.)

Dans le contexte de ton cours, le théorème de recollement ne te sera probablement pas utile.

Ben la définition c'est EXACTEMENT ce que tu as fait avec les distributions.

Soit $X$ un espace topologique. Un faisceau $F$ sur $X$ est une application qui à chaque ouvert $U$ de $X$ associe un groupe abélien $F(U)$. Cette application doit vérifier plusieurs axiomes.

Pour toute paire $U \subset V$ il faut une application dite de restriction $r_{U,V} : F(V) \to F(U).$ Cette application doit vérifier des propriétés naturelles, à savoir $r_{U,U} = id$ et $r_{W,V} \circ r_{V,U} = r_{W,U}$ si $U \subset V \subset W.$ Enfin il faut que le faisceau vérifie une condition de recollement à savoir : Si $\cup_{i\in I} U_i = U$ est un recouvrement ouvert et si $s_i \in F(U_i)$ vérifient $$r_{U_i \cap U_j, U_i} (s_i) =r_{U_i \cap U_j, U_j} (s_j)$$ alors il existe $s \in F(U)$ tel que $r_{U_i, U}(s) = s_i.$

Concernant les distributions, dans ton précédent fil je t'avais expliqué comment on pouvait restreindre les distributions. Et là tu viens de voir le recollement, donc les deux mis ensemble ça permet de dire que l'application $\mathcal{D}' : \Omega \subset \R^n \mapsto \mathcal{D}'(\Omega)$ est un faisceau.

Bonsoir,
Des ouverts deux à deux disjoints ? Ainsi énoncé, le théorème est évident.

Ben évidemment, c'est tout l'intérêt de la chose.

Grossièrement faux
Ne vois-tu pas une condition nécessaire lorsque $\Omega_i\cap \Omega_j\neq \emptyset$?

Le bon énoncé du théorème je te l'ai donné avec la définition de faisceau. N'es-tu pas capable de le réécrire en remplaçant $F$ par $\mathcal{D}'$ ?

Oui.

Pour être plus précis, tu devrais dire "Supposons que pour tout $i,j$ on a $T_{i_{\Omega_i \cap \Omega_j}}= T_{j_{\Omega_i \cap \Omega_j}}$." Tu n'as pas mis le quantificateur pour tout.

Selon une convention largement répandue, toute lettre qui n'est pas définie est implicitement quantifiée universellement (précédée d'un $\forall$). Par exemple : « Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2+1$. » Je suis férocement contre cette convention « dans les petites classes » (du collège à la L2 incluse au moins) parce que le statut des variables pose problème, tout ça : il faut expliciter tous les $\forall$ partout (éventuellement avec des mots, hein, au collège ou au lycée).

Peut-être que quand on est amené à parler de distributions, plus tard, donc, ce genre de choses peut être implicite ? Parce qu'au fond, il n'y a pas d'autre sens possible...